Finite Mathematik Beispiele

$4 x + 5 y = 18$ , $3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1

Löse in $4 x + 5 y = 18$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 18 - 5 y$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 18 - 5 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 18 - 5 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$x = \frac{2 (9)}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{9}{2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - 9 y = - 12$ durch $\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}) - 9 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{9}{2}) + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $3 (\frac{9}{2})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{2} + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{27}{2} + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{5 y}{4})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{27}{2} - 3 \frac{5 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 y}{4}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 3 (5 y)}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 9 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} - 9 y \cdot \frac{4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $- 9 y$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} + \frac{- 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y - 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y - 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 15 y - 9 y \cdot 4$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 15 y$ heraus.

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5) - 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $3 y$ aus $- 9 y \cdot 4$ heraus.

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5) + 3 y (- 3 \cdot 4)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (- 5) + 3 y (- 3 \cdot 4)$ heraus.

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5 - 3 \cdot 4)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5 - 3 \cdot 4)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5 - 12)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $- 5$ .

$\frac{27}{2} + \frac{3 y \cdot - 17}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 17$ mit $3$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{- 51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3

Löse in $\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\frac{27}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{51 y}{4} = - 12 - \frac{27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.1.2

Um $- 12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{51 y}{4} = - 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $- 12$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 12 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 12 \cdot 2 - 27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 24 - 27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $27$ von $- 24$ .

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{51 y}{4} = - \frac{51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{51 y}{4} = - \frac{51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{51}$ .

$- \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51 y}{4}) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{51} (- \frac{51 y}{4})$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{51}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{51} \cdot (- \frac{51 y}{4}) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{51 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{51} \cdot \frac{- 51 y}{4} = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{51} \cdot \frac{- 51 y}{4} = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{51} \cdot \frac{- 51 y}{4} = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{51} \cdot (- 51 y) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{51} \cdot (- 51 y) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $51$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $51$ aus $- 51 y$ heraus.

$\frac{- 1}{51} \cdot (51 (- y)) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{51} \cdot (51 (- y)) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{51} (- \frac{51}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{51}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{51}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 4}{51} \cdot \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{2 (- 2)}{51} \cdot \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 2}{51} \cdot \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 2}{51} \cdot - 51$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{- 2}{51} \cdot - 51$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $51$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $51$ aus $- 51$ heraus.

$y = \frac{- 2}{51} \cdot (51 (- 1))$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2}{51} \cdot (51 \cdot - 1)$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - 2 \cdot - 1$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - 2 \cdot - 1$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$ durch $2$ .

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 (2)}{4}$

$y = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{9}{2} - \frac{5 (2)}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $5 (2)$ heraus.

$x = \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 5}{4}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{9 - 5}{2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.3.1

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 2)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2, 2)$

Gleichungsform:

$x = 2, y = 2$

Schritt 7