Finite Mathematik Beispiele

$4 x + 3 y = 1$ , $2 x - 5 y = 12$

Schritt 1

Löse in $4 x + 3 y = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1 - 3 y$

$2 x - 5 y = 12$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1 - 3 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1 - 3 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 5 y = 12$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x - 5 y = 12$ durch $\frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}) - 5 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{4}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{1}{2 (2)}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{1}{2} + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2} + 2 (\frac{- 3 y}{4}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} + 2 (\frac{- 3 y}{2 (2)}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + 2 (\frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2} - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2} - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} - 5 y = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 5 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $- 5 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} + \frac{- 3 y - 5 y \cdot 2}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 3 y - 5 y \cdot 2}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{1 - 3 y - 10 y}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.7

Subtrahiere $10 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{1 - 13 y}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{1 - 13 y}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{1 - 13 y}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{1 - 13 y}{2} = 12$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3

Löse in $\frac{1 - 13 y}{2} = 12$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{1 - 13 y}{2} \cdot 2 = 12 \cdot 2$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{1 - 13 y}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 13 y}{2} \cdot 2 = 12 \cdot 2$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 13 y = 12 \cdot 2$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 - 13 y = 12 \cdot 2$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $1$ und $- 13 y$ um.

$- 13 y + 1 = 12 \cdot 2$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- 13 y + 1 = 12 \cdot 2$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- 13 y + 1 = 12 \cdot 2$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$- 13 y + 1 = 24$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- 13 y + 1 = 24$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- 13 y + 1 = 24$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 13 y = 24 - 1$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $1$ von $24$ .

$- 13 y = 23$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- 13 y = 23$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 13 y = 23$ durch $- 13$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 13 y = 23$ durch $- 13$ .

$\frac{- 13 y}{- 13} = \frac{23}{- 13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 13$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 13 y}{- 13} = \frac{23}{- 13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{23}{- 13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{23}{- 13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{23}{- 13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{23}{13}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{1}{4} - \frac{3 y}{4}$ durch $- \frac{23}{13}$ .

$x = \frac{1}{4} - \frac{3 (- \frac{23}{13})}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{1}{4} - \frac{3 (- \frac{23}{13})}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - 3 (- \frac{23}{13})}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- 3 (- \frac{23}{13})$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$x = \frac{1 + 3 (\frac{23}{13})}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{23}{13}$ .

$x = \frac{1 + \frac{3 \cdot 23}{13}}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $23$ .

$x = \frac{1 + \frac{69}{13}}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{1 + \frac{69}{13}}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{13}{13} + \frac{69}{13}}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{13 + 69}{13}}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.5

Addiere $13$ und $69$ .

$x = \frac{\frac{82}{13}}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{82}{13} \cdot \frac{1}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $82$ heraus.

$x = \frac{2 (41)}{13} \cdot \frac{1}{4}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 41}{13} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 41}{13} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{41}{13} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{41}{13} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{41}{13}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{41}{13 \cdot 2}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 4.2.1.9

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$x = \frac{41}{26}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{41}{26}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{41}{26}$

$y = - \frac{23}{13}$

$x = \frac{41}{26}$

$y = - \frac{23}{13}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{41}{26}, - \frac{23}{13})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{41}{26}, - \frac{23}{13})$

Gleichungsform:

$x = \frac{41}{26}, y = - \frac{23}{13}$

Schritt 7