Finite Mathematik Beispiele

$3 x + 4 y = 9$ , $2 x - y = - 7$

Schritt 1

Löse in $3 x + 4 y = 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 9 - 4 y$

$2 x - y = - 7$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 9 - 4 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 9 - 4 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

$x = \frac{9}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

$x = \frac{9}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $9$ durch $3$ .

$x = 3 + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$2 x - y = - 7$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 - \frac{4 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x - y = - 7$ durch $3 - \frac{4 y}{3}$ .

$2 (3 - \frac{4 y}{3}) - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (3 - \frac{4 y}{3}) - y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 3 + 2 (- \frac{4 y}{3}) - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 + 2 (- \frac{4 y}{3}) - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{4 y}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 - 2 \frac{4 y}{3} - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 y}{3}$ .

$6 + \frac{- 2 (4 y)}{3} - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$6 + \frac{- 8 y}{3} - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 + \frac{- 8 y}{3} - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 - \frac{8 y}{3} - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 - \frac{8 y}{3} - y = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 - \frac{8 y}{3} - y \cdot \frac{3}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $- y$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 - \frac{8 y}{3} + \frac{- y \cdot 3}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 + \frac{- 8 y - y \cdot 3}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 + \frac{- 8 y - y \cdot 3}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 8 y - y \cdot 3$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 8 y$ heraus.

$6 + \frac{y \cdot - 8 - y \cdot 3}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \cdot 3$ heraus.

$6 + \frac{y \cdot - 8 + y (- 1 \cdot 3)}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 8 + y (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$6 + \frac{y (- 8 - 1 \cdot 3)}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 + \frac{y (- 8 - 1 \cdot 3)}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 + \frac{y (- 8 - 3)}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $3$ von $- 8$ .

$6 + \frac{y \cdot - 11}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 + \frac{y \cdot - 11}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.2

Bringe $- 11$ auf die linke Seite von $y$ .

$6 + \frac{- 11 \cdot y}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 - \frac{11 y}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 - \frac{11 y}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 - \frac{11 y}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 - \frac{11 y}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$6 - \frac{11 y}{3} = - 7$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $6 - \frac{11 y}{3} = - 7$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{11 y}{3} = - 7 - 6$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6$ von $- 7$ .

$- \frac{11 y}{3} = - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$- \frac{11 y}{3} = - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{11}$ .

$- \frac{3}{11} \cdot (- \frac{11 y}{3}) = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{11} (- \frac{11 y}{3})$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{11}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{11} \cdot (- \frac{11 y}{3}) = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{11} \cdot \frac{- 11 y}{3} = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{11} \cdot \frac{- 11 y}{3} = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{11} \cdot \frac{- 11 y}{3} = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{11} \cdot (- 11 y) = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$\frac{- 1}{11} \cdot (- 11 y) = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11 y$ heraus.

$\frac{- 1}{11} \cdot (11 (- y)) = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{11} \cdot (11 (- y)) = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{3}{11} \cdot - 13$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere $- \frac{3}{11} \cdot - 13$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 1$ .

$y = 13 (\frac{3}{11})$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kombiniere $13$ und $\frac{3}{11}$ .

$y = \frac{13 \cdot 3}{11}$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $3$ .

$y = \frac{39}{11}$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = 3 - \frac{4 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{39}{11}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 - \frac{4 y}{3}$ durch $\frac{39}{11}$ .

$x = 3 - \frac{4 (\frac{39}{11})}{3}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 - \frac{4 (\frac{39}{11})}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kombiniere $4$ und $\frac{39}{11}$ .

$x = 3 - \frac{\frac{4 \cdot 39}{11}}{3}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $39$ .

$x = 3 - \frac{\frac{156}{11}}{3}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = 3 - (\frac{156}{11} \cdot \frac{1}{3})$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $156$ heraus.

$x = 3 - (\frac{3 (52)}{11} \cdot \frac{1}{3})$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 - (\frac{3 \cdot 52}{11} \cdot \frac{1}{3})$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 - \frac{52}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = 3 - \frac{52}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = 3 - \frac{52}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$x = 3 \cdot \frac{11}{11} - \frac{52}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{11} - \frac{52}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \cdot 11 - 52}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$x = \frac{33 - 52}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.5.2

Subtrahiere $52$ von $33$ .

$x = \frac{- 19}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = \frac{- 19}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{19}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = - \frac{19}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = - \frac{19}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

$x = - \frac{19}{11}$

$y = \frac{39}{11}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{19}{11}, \frac{39}{11})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{19}{11}, \frac{39}{11})$

Gleichungsform:

$x = - \frac{19}{11}, y = \frac{39}{11}$

Schritt 7