Finite Mathematik Beispiele

$3 x + 3 y + z = 3$ , $x - 3 y + 2 z = - 16$ , $8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y + z = 3 - 3 x$

$x - 3 y + 2 z = - 16$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$x - 3 y + 2 z = - 16$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$x - 3 y + 2 z = - 16$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $3 - 3 x - 3 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $z$ in $x - 3 y + 2 z = - 16$ durch $3 - 3 x - 3 y$ .

$x - 3 y + 2 (3 - 3 x - 3 y) = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x - 3 y + 2 (3 - 3 x - 3 y)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 y + 2 \cdot 3 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 y) = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x - 3 y + 6 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 y) = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$x - 3 y + 6 - 6 x + 2 (- 3 y) = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$x - 3 y + 6 - 6 x - 6 y = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

$x - 3 y + 6 - 6 x - 6 y = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

$x - 3 y + 6 - 6 x - 6 y = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $6 x$ von $x$ .

$- 5 x - 3 y + 6 - 6 y = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $6 y$ von $- 3 y$ .

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 3 z = - 23$

Schritt 2.3

Ersetze alle $z$ in $8 x - 2 y + 3 z = - 23$ durch $3 - 3 x - 3 y$ .

$8 x - 2 y + 3 (3 - 3 x - 3 y) = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $8 x - 2 y + 3 (3 - 3 x - 3 y)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x - 2 y + 3 \cdot 3 + 3 (- 3 x) + 3 (- 3 y) = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$8 x - 2 y + 9 + 3 (- 3 x) + 3 (- 3 y) = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$8 x - 2 y + 9 - 9 x + 3 (- 3 y) = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$8 x - 2 y + 9 - 9 x - 9 y = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 9 - 9 x - 9 y = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$8 x - 2 y + 9 - 9 x - 9 y = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Subtrahiere $9 x$ von $8 x$ .

$- x - 2 y + 9 - 9 y = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.2.2

Subtrahiere $9 y$ von $- 2 y$ .

$- x - 11 y + 9 = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$- x - 11 y + 9 = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$- x - 11 y + 9 = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$- x - 11 y + 9 = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$- x - 11 y + 9 = - 23$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3

Löse in $- x - 11 y + 9 = - 23$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $11 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x + 9 = - 23 + 11 y$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 23 + 11 y - 9$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $9$ von $- 23$ .

$- x = 11 y - 32$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$- x = 11 y - 32$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 11 y - 32$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 11 y - 32$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{11 y}{- 1} + \frac{- 32}{- 1}$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{11 y}{- 1} + \frac{- 32}{- 1}$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{11 y}{- 1} + \frac{- 32}{- 1}$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$x = \frac{11 y}{- 1} + \frac{- 32}{- 1}$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{11 y}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (11 y) + \frac{- 32}{- 1}$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (11 y)$ als $- (11 y)$ um.

$x = - (11 y) + \frac{- 32}{- 1}$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$x = - 11 y + \frac{- 32}{- 1}$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 3.2.3.1.4

Dividiere $- 32$ durch $- 1$ .

$x = - 11 y + 32$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$x = - 11 y + 32$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$x = - 11 y + 32$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$x = - 11 y + 32$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$x = - 11 y + 32$

$- 5 x - 9 y + 6 = - 16$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 11 y + 32$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $- 5 x - 9 y + 6 = - 16$ durch $- 11 y + 32$ .

$- 5 (- 11 y + 32) - 9 y + 6 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 5 (- 11 y + 32) - 9 y + 6$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (- 11 y) - 5 \cdot 32 - 9 y + 6 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 5$ .

$55 y - 5 \cdot 32 - 9 y + 6 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $32$ .

$55 y - 160 - 9 y + 6 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$55 y - 160 - 9 y + 6 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $9 y$ von $55 y$ .

$46 y - 160 + 6 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 160$ und $6$ .

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 - 3 x - 3 y$

Schritt 4.3

Ersetze alle $x$ in $z = 3 - 3 x - 3 y$ durch $- 11 y + 32$ .

$z = 3 - 3 (- 11 y + 32) - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $3 - 3 (- 11 y + 32) - 3 y$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z = 3 - 3 (- 11 y) - 3 \cdot 32 - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 3$ .

$z = 3 + 33 y - 3 \cdot 32 - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $32$ .

$z = 3 + 33 y - 96 - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 3 + 33 y - 96 - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Subtrahiere $96$ von $3$ .

$z = 33 y - 93 - 3 y$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 4.4.1.2.2

Subtrahiere $3 y$ von $33 y$ .

$z = 30 y - 93$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 30 y - 93$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 30 y - 93$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 30 y - 93$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

$z = 30 y - 93$

$46 y - 154 = - 16$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 5

Löse in $46 y - 154 = - 16$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $154$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$46 y = - 16 + 154$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 5.1.2

Addiere $- 16$ und $154$ .

$46 y = 138$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

$46 y = 138$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $46 y = 138$ durch $46$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $46 y = 138$ durch $46$ .

$\frac{46 y}{46} = \frac{138}{46}$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $46$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{46 y}{46} = \frac{138}{46}$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{138}{46}$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

$y = \frac{138}{46}$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

$y = \frac{138}{46}$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $138$ durch $46$ .

$y = 3$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

$y = 3$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

$y = 3$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

$y = 3$

$z = 30 y - 93$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $z = 30 y - 93$ durch $3$ .

$z = 30 (3) - 93$

$y = 3$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $30 (3) - 93$ .

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $30$ mit $3$ .

$z = 90 - 93$

$y = 3$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $93$ von $90$ .

$z = - 3$

$y = 3$

$x = - 11 y + 32$

$z = - 3$

$y = 3$

$x = - 11 y + 32$

$z = - 3$

$y = 3$

$x = - 11 y + 32$

Schritt 6.3

Ersetze alle $y$ in $x = - 11 y + 32$ durch $3$ .

$x = - 11 \cdot 3 + 32$

$z = - 3$

$y = 3$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- 11 \cdot 3 + 32$ .

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $3$ .

$x = - 33 + 32$

$z = - 3$

$y = 3$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $- 33$ und $32$ .

$x = - 1$

$z = - 3$

$y = 3$

$x = - 1$

$z = - 3$

$y = 3$

$x = - 1$

$z = - 3$

$y = 3$

$x = - 1$

$z = - 3$

$y = 3$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, 3, - 3)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, 3, - 3)$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = 3, z = - 3$