Finite Mathematik Beispiele

$- 3 x + 2 y = 10$ , $4 x - y = 10$

Schritt 1

Löse in $- 3 x + 2 y = 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = 10 - 2 y$

$4 x - y = 10$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 10 - 2 y$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 10 - 2 y$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$4 x - y = 10$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$4 x - y = 10$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$4 x - y = 10$

$x = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$4 x - y = 10$

$x = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$4 x - y = 10$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$4 x - y = 10$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x - y = 10$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x - y = 10$ durch $- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$ .

$4 (- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}) - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 (- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}) - y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \frac{10}{3}) + 4 (\frac{2 y}{3}) - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $4 (- \frac{10}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\frac{10}{3}) + 4 (\frac{2 y}{3}) - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{10}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 10}{3} + 4 (\frac{2 y}{3}) - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$\frac{- 40}{3} + 4 (\frac{2 y}{3}) - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{- 40}{3} + 4 (\frac{2 y}{3}) - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $4 \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{- 40}{3} + \frac{4 (2 y)}{3} - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- 40}{3} + \frac{8 y}{3} - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{- 40}{3} + \frac{8 y}{3} - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{40}{3} + \frac{8 y}{3} - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- \frac{40}{3} + \frac{8 y}{3} - y = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{40}{3} + \frac{8 y}{3} - y \cdot \frac{3}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $- y$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{40}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{- y \cdot 3}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{40}{3} + \frac{8 y - y \cdot 3}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 40 + 8 y - y \cdot 3}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 40 + 8 y - 3 y}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Subtrahiere $3 y$ von $8 y$ .

$\frac{- 40 + 5 y}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8

Faktorisiere $5$ aus $- 40 + 5 y$ heraus.

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Schritt 2.2.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $- 40$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 8 + 5 y}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot - 8 + 5 y$ heraus.

$\frac{5 (- 8 + y)}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{5 (- 8 + y)}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.9

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{5 (- 1 \cdot 8 + y)}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{5 (- 1 \cdot 8 - 1 (- y))}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (8) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{5 (- 1 (8 - y))}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 (8 - y)}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- \frac{5 (8 - y)}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- \frac{5 (8 - y)}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- \frac{5 (8 - y)}{3} = 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $- \frac{5 (8 - y)}{3} = 10$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{5}$ .

$- \frac{3}{5} \cdot (- \frac{5 (8 - y)}{3}) = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{5} (- \frac{5 (8 - y)}{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{5} \cdot (- \frac{5 (8 - y)}{3}) = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 (8 - y)}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{5} \cdot \frac{- 5 (8 - y)}{3} = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 (8 - y)}{3} = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 (8 - y)}{3} = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} \cdot (- 5 (8 - y)) = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{- 1}{5} \cdot (- 5 (8 - y)) = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (8 - y)$ heraus.

$\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- (8 - y))) = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- (8 - y))) = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - y = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (8 - y) = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $8 - y$ mit $1$ .

$8 - y = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - \frac{3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{5} \cdot 10$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$8 - y = \frac{- 3}{5} \cdot 10$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$8 - y = \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - y = \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$8 - y = - 3 \cdot 2$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - 3 \cdot 2$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$8 - y = - 6$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - 6$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - 6$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 - y = - 6$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 6 - 8$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $8$ von $- 6$ .

$- y = - 14$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- y = - 14$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 14$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 14$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 14}{- 1}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 14}{- 1}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 14}{- 1}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 14}{- 1}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $- 14$ durch $- 1$ .

$y = 14$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = 14$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = 14$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = 14$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $14$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$ durch $14$ .

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 (14)}{3}$

$y = 14$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{10}{3} + \frac{2 (14)}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 10 + 2 (14)}{3}$

$y = 14$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{- 10 + 28}{3}$

$y = 14$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 10$ und $28$ .

$x = \frac{18}{3}$

$y = 14$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $18$ durch $3$ .

$x = 6$

$y = 14$

$x = 6$

$y = 14$

$x = 6$

$y = 14$

$x = 6$

$y = 14$

$x = 6$

$y = 14$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(6, 14)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(6, 14)$

Gleichungsform:

$x = 6, y = 14$

Schritt 7