Finite Mathematik Beispiele

$360 x + 90 y = 720$ , $15 x + 40 y = 120$

Schritt 1

Löse in $360 x + 90 y = 720$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $90 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$360 x = 720 - 90 y$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $360 x = 720 - 90 y$ durch $360$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $360 x = 720 - 90 y$ durch $360$ .

$\frac{360 x}{360} = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $360$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{360 x}{360} = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $720$ durch $360$ .

$x = 2 + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 90$ und $360$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $90$ aus $- 90 y$ heraus.

$x = 2 + \frac{90 (- y)}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $90$ aus $360$ heraus.

$x = 2 + \frac{90 (- y)}{90 (4)}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 + \frac{90 (- y)}{90 \cdot 4}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 + \frac{- y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 + \frac{- y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 + \frac{- y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2 - \frac{y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $15 x + 40 y = 120$ durch $2 - \frac{y}{4}$ .

$15 (2 - \frac{y}{4}) + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $15 (2 - \frac{y}{4}) + 40 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 \cdot 2 + 15 (- \frac{y}{4}) + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$30 + 15 (- \frac{y}{4}) + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $15 (- \frac{y}{4})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$30 - 15 \frac{y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 15$ und $\frac{y}{4}$ .

$30 + \frac{- 15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{- 15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$30 - \frac{15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 - \frac{15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Um $40 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$30 - \frac{15 y}{4} + 40 y \cdot \frac{4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $40 y$ und $\frac{4}{4}$ .

$30 - \frac{15 y}{4} + \frac{40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$30 + \frac{- 15 y + 40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{- 15 y + 40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1

Faktorisiere $5 y$ aus $- 15 y + 40 y \cdot 4$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $5 y$ aus $- 15 y$ heraus.

$30 + \frac{5 y (- 3) + 40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Faktorisiere $5 y$ aus $40 y \cdot 4$ heraus.

$30 + \frac{5 y (- 3) + 5 y (8 \cdot 4)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y (- 3) + 5 y (8 \cdot 4)$ heraus.

$30 + \frac{5 y (- 3 + 8 \cdot 4)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{5 y (- 3 + 8 \cdot 4)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$30 + \frac{5 y (- 3 + 32)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.3

Addiere $- 3$ und $32$ .

$30 + \frac{5 y \cdot 29}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.4

Mutltipliziere $29$ mit $5$ .

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3

Löse in $30 + \frac{145 y}{4} = 120$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{145 y}{4} = 120 - 30$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $30$ von $120$ .

$\frac{145 y}{4} = 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$\frac{145 y}{4} = 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{145}$ .

$\frac{4}{145} \cdot \frac{145 y}{4} = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{145} \cdot \frac{145 y}{4}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{145} \cdot \frac{145 y}{4} = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{145} \cdot (145 y) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$\frac{1}{145} \cdot (145 y) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $145$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $145$ aus $145 y$ heraus.

$\frac{1}{145} \cdot (145 (y)) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{145} \cdot (145 y) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{145} \cdot 90$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $145$ heraus.

$y = \frac{4}{5 (29)} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $90$ heraus.

$y = \frac{4}{5 \cdot 29} \cdot (5 \cdot 18)$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4}{5 \cdot 29} \cdot (5 \cdot 18)$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{29} \cdot 18$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{29} \cdot 18$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{4}{29}$ und $18$ .

$y = \frac{4 \cdot 18}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $18$ .

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{72}{29}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 2 - \frac{y}{4}$ durch $\frac{72}{29}$ .

$x = 2 - \frac{\frac{72}{29}}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 - \frac{\frac{72}{29}}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = 2 - (\frac{72}{29} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $72$ heraus.

$x = 2 - (\frac{4 (18)}{29} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 - (\frac{4 \cdot 18}{29} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{29}{29}$ .

$x = 2 \cdot \frac{29}{29} - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{29}{29}$ .

$x = \frac{2 \cdot 29}{29} - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \cdot 29 - 18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $29$ .

$x = \frac{58 - 18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 4.2.1.5.2

Subtrahiere $18$ von $58$ .

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{40}{29}, \frac{72}{29})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{40}{29}, \frac{72}{29})$

Gleichungsform:

$x = \frac{40}{29}, y = \frac{72}{29}$

Schritt 7