Finite Mathematik Beispiele

$2 x y + 1 = 0$ , $x + 36 y = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $36 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 - 36 y$

$2 x y + 1 = 0$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 - 36 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x y + 1 = 0$ durch $3 - 36 y$ .

$2 (3 - 36 y) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 3 + 2 (- 36 y)) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(6 + 2 (- 36 y)) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$(6 - 72 y) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y - 72 y \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 2.2.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.5.1

Bewege $y$ .

$6 y - 72 (y \cdot y) + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 2.2.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3

Löse in $6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$6 u - 72 u^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.2.1

Stelle die Terme um.

$- 72 u^{2} + 6 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 72 \cdot 1 = - 72$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 u$ heraus.

$- 72 u^{2} + 6 (u) + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.2.2.2

Schreibe $6$ um als $- 6$ plus $12$

$- 72 u^{2} + (- 6 + 12) u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 72 u^{2} - 6 u + 12 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$- 72 u^{2} - 6 u + 12 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- 72 u^{2} - 6 u) + 12 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 u (- 12 u - 1) - (- 12 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 u (- 12 u - 1) - (- 12 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 12 u - 1$ .

$(- 12 u - 1) (6 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

$(- 12 u - 1) (6 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(- 12 y - 1) (6 y - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

$(- 12 y - 1) (6 y - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 12 y - 1 = 0$

$6 y - 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.3

Setze $- 12 y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $- 12 y - 1$ gleich $0$ .

$- 12 y - 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.3.2

Löse $- 12 y - 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y = 1$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y = 1$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y = 1$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.4

Setze $6 y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $6 y - 1$ gleich $0$ .

$6 y - 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.4.2

Löse $6 y - 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = 1$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 y = 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = 1$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- 12 y - 1) (6 y - 1) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{1}{12}, \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}, \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{1}{12}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 - 36 y$ durch $- \frac{1}{12}$ .

$x = 3 - 36 (- \frac{1}{12})$

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 - 36 (- \frac{1}{12})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{12}$ in den Zähler.

$x = 3 - 36 (\frac{- 1}{12})$

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 36$ heraus.

$x = 3 + 12 (- 3) (\frac{- 1}{12})$

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 4.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 + 12 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{12}))$

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 4.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x = 3 + 3$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 + 3$

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $3$ und $3$ .

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{1}{6}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 - 36 y$ durch $\frac{1}{6}$ .

$x = 3 - 36 (\frac{1}{6})$

$y = \frac{1}{6}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $3 - 36 (\frac{1}{6})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 36$ heraus.

$x = 3 + 6 (- 6) (\frac{1}{6})$

$y = \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 + 6 \cdot (- 6 (\frac{1}{6}))$

$y = \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 - 6$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 6$

$y = \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(6, - \frac{1}{12})$

$(- 3, \frac{1}{6})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(6, - \frac{1}{12}), (- 3, \frac{1}{6})$

Gleichungsform:

$x = 6, y = - \frac{1}{12}$

$x = - 3, y = \frac{1}{6}$

Schritt 8