Finite Mathematik Beispiele

$x + 2 y + z = 5$ , $2 x + y - 3 z = - 2$ , $3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + z = 5 - 2 y$

$2 x + y - 3 z = - 2$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 1.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5 - 2 y - z$

$2 x + y - 3 z = - 2$

$3 x + y + 4 z = - 5$

$x = 5 - 2 y - z$

$2 x + y - 3 z = - 2$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5 - 2 y - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + y - 3 z = - 2$ durch $5 - 2 y - z$ .

$2 (5 - 2 y - z) + y - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (5 - 2 y - z) + y - 3 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 5 + 2 (- 2 y) + 2 (- z) + y - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 + 2 (- 2 y) + 2 (- z) + y - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$10 - 4 y + 2 (- z) + y - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 - 4 y - 2 z + y - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

$10 - 4 y - 2 z + y - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

$10 - 4 y - 2 z + y - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $- 4 y$ und $y$ .

$10 - 3 y - 2 z - 3 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $3 z$ von $- 2 z$ .

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$3 x + y + 4 z = - 5$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $3 x + y + 4 z = - 5$ durch $5 - 2 y - z$ .

$3 (5 - 2 y - z) + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $3 (5 - 2 y - z) + y + 4 z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 5 + 3 (- 2 y) + 3 (- z) + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 + 3 (- 2 y) + 3 (- z) + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$15 - 6 y + 3 (- z) + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$15 - 6 y - 3 z + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$15 - 6 y - 3 z + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$15 - 6 y - 3 z + y + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Addiere $- 6 y$ und $y$ .

$15 - 5 y - 3 z + 4 z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 2.4.1.2.2

Addiere $- 3 z$ und $4 z$ .

$15 - 5 y + z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$15 - 5 y + z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$15 - 5 y + z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$15 - 5 y + z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$15 - 5 y + z = - 5$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y + z = - 5 - 15$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 3.2

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 5 - 15 + 5 y$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 3.3

Subtrahiere $15$ von $- 5$ .

$z = - 20 + 5 y$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

$z = - 20 + 5 y$

$10 - 3 y - 5 z = - 2$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $- 20 + 5 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $z$ in $10 - 3 y - 5 z = - 2$ durch $- 20 + 5 y$ .

$10 - 3 y - 5 (- 20 + 5 y) = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $10 - 3 y - 5 (- 20 + 5 y)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 - 3 y - 5 \cdot - 20 - 5 (5 y) = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 20$ .

$10 - 3 y + 100 - 5 (5 y) = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$10 - 3 y + 100 - 25 y = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

$10 - 3 y + 100 - 25 y = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $10$ und $100$ .

$- 3 y + 110 - 25 y = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $25 y$ von $- 3 y$ .

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y - z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $z$ in $x = 5 - 2 y - z$ durch $- 20 + 5 y$ .

$x = 5 - 2 y - (- 20 + 5 y)$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $5 - 2 y - (- 20 + 5 y)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 5 - 2 y + 20 - (5 y)$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$x = 5 - 2 y + 20 - (5 y)$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x = 5 - 2 y + 20 - 5 y$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = 5 - 2 y + 20 - 5 y$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Addiere $5$ und $20$ .

$x = - 2 y + 25 - 5 y$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 4.4.1.2.2

Subtrahiere $5 y$ von $- 2 y$ .

$x = - 7 y + 25$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = - 7 y + 25$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = - 7 y + 25$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = - 7 y + 25$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

$x = - 7 y + 25$

$- 28 y + 110 = - 2$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 5

Löse in $- 28 y + 110 = - 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $110$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 28 y = - 2 - 110$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $110$ von $- 2$ .

$- 28 y = - 112$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

$- 28 y = - 112$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 28 y = - 112$ durch $- 28$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 28 y = - 112$ durch $- 28$ .

$\frac{- 28 y}{- 28} = \frac{- 112}{- 28}$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 28$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 28 y}{- 28} = \frac{- 112}{- 28}$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 112}{- 28}$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

$y = \frac{- 112}{- 28}$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

$y = \frac{- 112}{- 28}$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 112$ durch $- 28$ .

$y = 4$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

$y = 4$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

$y = 4$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

$y = 4$

$x = - 7 y + 25$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 7 y + 25$ durch $4$ .

$x = - 7 \cdot 4 + 25$

$y = 4$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 7 \cdot 4 + 25$ .

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$x = - 28 + 25$

$y = 4$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 28$ und $25$ .

$x = - 3$

$y = 4$

$z = - 20 + 5 y$

$x = - 3$

$y = 4$

$z = - 20 + 5 y$

$x = - 3$

$y = 4$

$z = - 20 + 5 y$

Schritt 6.3

Ersetze alle $y$ in $z = - 20 + 5 y$ durch $4$ .

$z = - 20 + 5 (4)$

$x = - 3$

$y = 4$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- 20 + 5 (4)$ .

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$z = - 20 + 20$

$x = - 3$

$y = 4$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $- 20$ und $20$ .

$z = 0$

$x = - 3$

$y = 4$

$z = 0$

$x = - 3$

$y = 4$

$z = 0$

$x = - 3$

$y = 4$

$z = 0$

$x = - 3$

$y = 4$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 3, 4, 0)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 3, 4, 0)$

Gleichungsform:

$x = - 3, y = 4, z = 0$