Finite Mathematik Beispiele

$x - 5 y + z = 3$ , $x + 2 y - 2 z = - 12$ , $2 x + 2 z = 18$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + z = 3 + 5 y$

$x + 2 y - 2 z = - 12$

$2 x + 2 z = 18$

Schritt 1.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 + 5 y - z$

$x + 2 y - 2 z = - 12$

$2 x + 2 z = 18$

$x = 3 + 5 y - z$

$x + 2 y - 2 z = - 12$

$2 x + 2 z = 18$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 + 5 y - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x + 2 y - 2 z = - 12$ durch $3 + 5 y - z$ .

$(3 + 5 y - z) + 2 y - 2 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(3 + 5 y - z) + 2 y - 2 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Addiere $5 y$ und $2 y$ .

$3 + 7 y - z - 2 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $2 z$ von $- z$ .

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $2 x + 2 z = 18$ durch $3 + 5 y - z$ .

$2 (3 + 5 y - z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $2 (3 + 5 y - z) + 2 z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 3 + 2 (5 y) + 2 (- z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 + 2 (5 y) + 2 (- z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$6 + 10 y + 2 (- z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 + 10 y - 2 z + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y - 2 z + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y - 2 z + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 2.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 + 10 y - 2 z + 2 z$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Addiere $- 2 z$ und $2 z$ .

$6 + 10 y + 0 = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 2.4.1.2.2

Addiere $6 + 10 y$ und $0$ .

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3

Löse in $6 + 10 y = 18$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y = 18 - 6$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6$ von $18$ .

$10 y = 12$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$10 y = 12$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $10 y = 12$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y = 12$ durch $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{10} = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $10$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{2 (6)}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{6}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $3 + 7 y - 3 z = - 12$ durch $\frac{6}{5}$ .

$3 + 7 (\frac{6}{5}) - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 + 7 (\frac{6}{5}) - 3 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $7 (\frac{6}{5})$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kombiniere $7$ und $\frac{6}{5}$ .

$3 + \frac{7 \cdot 6}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$3 + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$3 + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.2.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 5 + 42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 + 42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $15$ und $42$ .

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = 3 + 5 y - z$ durch $\frac{6}{5}$ .

$x = 3 + 5 (\frac{6}{5}) - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $3 + 5 (\frac{6}{5}) - z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 + 5 (\frac{6}{5}) - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 4.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 + 6 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 6 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $3$ und $6$ .

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5

Löse in $\frac{57}{5} - 3 z = - 12$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $\frac{57}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 z = - 12 - \frac{57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.1.2

Um $- 12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 3 z = - 12 \cdot \frac{5}{5} - \frac{57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $- 12$ und $\frac{5}{5}$ .

$- 3 z = \frac{- 12 \cdot 5}{5} - \frac{57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 z = \frac{- 12 \cdot 5 - 57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$- 3 z = \frac{- 60 - 57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.1.5.2

Subtrahiere $57$ von $- 60$ .

$- 3 z = \frac{- 117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$- 3 z = \frac{- 117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 z = - \frac{117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$- 3 z = - \frac{117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = - \frac{117}{5}$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = - \frac{117}{5}$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$z = - \frac{117}{5} \cdot \frac{1}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{117}{5}$ in den Zähler.

$z = \frac{- 117}{5} \cdot \frac{1}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 117$ heraus.

$z = \frac{3 (- 39)}{5} \cdot \frac{1}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$z = \frac{3 \cdot - 39}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{3 \cdot - 39}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{- 39}{5} \cdot \frac{1}{- 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{- 39}{5} \cdot \frac{1}{- 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 39}{5}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$z = \frac{- 39}{5 \cdot - 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$z = \frac{- 39}{- 5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $\frac{39}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $x = 9 - z$ durch $\frac{39}{5}$ .

$x = 9 - (\frac{39}{5})$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $9 - (\frac{39}{5})$ .

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Schritt 6.2.1.1

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x = 9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{9 \cdot 5 - 39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$x = \frac{45 - 39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.1.4.2

Subtrahiere $39$ von $45$ .

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}, \frac{39}{5})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}, \frac{39}{5})$

Gleichungsform:

$x = \frac{6}{5}, y = \frac{6}{5}, z = \frac{39}{5}$