Finite Mathematik Beispiele

$x - y + 2 z = 2$ , $3 x + y + 5 z = 22$ , $2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 2 z = 2 + y$

$3 x + y + 5 z = 22$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 + y - 2 z$

$3 x + y + 5 z = 22$

$2 x - y - 2 z = - 15$

$x = 2 + y - 2 z$

$3 x + y + 5 z = 22$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2 + y - 2 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x + y + 5 z = 22$ durch $2 + y - 2 z$ .

$3 (2 + y - 2 z) + y + 5 z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (2 + y - 2 z) + y + 5 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 2 + 3 y + 3 (- 2 z) + y + 5 z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 + 3 y + 3 (- 2 z) + y + 5 z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$6 + 3 y - 6 z + y + 5 z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

$6 + 3 y - 6 z + y + 5 z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

$6 + 3 y - 6 z + y + 5 z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $3 y$ und $y$ .

$6 + 4 y - 6 z + 5 z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $- 6 z$ und $5 z$ .

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$2 x - y - 2 z = - 15$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $2 x - y - 2 z = - 15$ durch $2 + y - 2 z$ .

$2 (2 + y - 2 z) - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $2 (2 + y - 2 z) - y - 2 z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 y + 2 (- 2 z) - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 y + 2 (- 2 z) - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 + 2 y - 4 z - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$4 + 2 y - 4 z - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$4 + 2 y - 4 z - y - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Subtrahiere $y$ von $2 y$ .

$4 + y - 4 z - 2 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 2.4.1.2.2

Subtrahiere $2 z$ von $- 4 z$ .

$4 + y - 6 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$4 + y - 6 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$4 + y - 6 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$4 + y - 6 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$4 + y - 6 z = - 15$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 6 z = - 15 - 4$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 3.2

Addiere $6 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 15 - 4 + 6 z$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 3.3

Subtrahiere $4$ von $- 15$ .

$y = - 19 + 6 z$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

$y = - 19 + 6 z$

$6 + 4 y - z = 22$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 19 + 6 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $6 + 4 y - z = 22$ durch $- 19 + 6 z$ .

$6 + 4 (- 19 + 6 z) - z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $6 + 4 (- 19 + 6 z) - z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 + 4 \cdot - 19 + 4 (6 z) - z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 19$ .

$6 - 76 + 4 (6 z) - z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$6 - 76 + 24 z - z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

$6 - 76 + 24 z - z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $76$ von $6$ .

$- 70 + 24 z - z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $z$ von $24 z$ .

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 + y - 2 z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = 2 + y - 2 z$ durch $- 19 + 6 z$ .

$x = 2 - 19 + 6 z - 2 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 4.4

Vereinfache $x = 2 - 19 + 6 z - 2 z$ .

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 - 19 + 6 z - 2 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = 2 - 19 + 6 z - 2 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $2 - 19 + 6 z - 2 z$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Subtrahiere $19$ von $2$ .

$x = - 17 + 6 z - 2 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 4.4.2.1.2

Subtrahiere $2 z$ von $6 z$ .

$x = - 17 + 4 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = - 17 + 4 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = - 17 + 4 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = - 17 + 4 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

$x = - 17 + 4 z$

$- 70 + 23 z = 22$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 5

Löse in $- 70 + 23 z = 22$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $70$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$23 z = 22 + 70$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 5.1.2

Addiere $22$ und $70$ .

$23 z = 92$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

$23 z = 92$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $23 z = 92$ durch $23$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $23 z = 92$ durch $23$ .

$\frac{23 z}{23} = \frac{92}{23}$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $23$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{23 z}{23} = \frac{92}{23}$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{92}{23}$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

$z = \frac{92}{23}$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

$z = \frac{92}{23}$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $92$ durch $23$ .

$z = 4$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

$z = 4$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

$z = 4$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

$z = 4$

$x = - 17 + 4 z$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $x = - 17 + 4 z$ durch $4$ .

$x = - 17 + 4 (4)$

$z = 4$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 17 + 4 (4)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = - 17 + 16$

$z = 4$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 17$ und $16$ .

$x = - 1$

$z = 4$

$y = - 19 + 6 z$

$x = - 1$

$z = 4$

$y = - 19 + 6 z$

$x = - 1$

$z = 4$

$y = - 19 + 6 z$

Schritt 6.3

Ersetze alle $z$ in $y = - 19 + 6 z$ durch $4$ .

$y = - 19 + 6 (4)$

$x = - 1$

$z = 4$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- 19 + 6 (4)$ .

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$y = - 19 + 24$

$x = - 1$

$z = 4$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $- 19$ und $24$ .

$y = 5$

$x = - 1$

$z = 4$

$y = 5$

$x = - 1$

$z = 4$

$y = 5$

$x = - 1$

$z = 4$

$y = 5$

$x = - 1$

$z = 4$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, 5, 4)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, 5, 4)$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = 5, z = 4$