Finite Mathematik Beispiele

$x - y = 1$ , $2 x - 8 z = 8$ , $8 y + z = 6$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + y$

$2 x - 8 z = 8$

$8 y + z = 6$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1 + y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x - 8 z = 8$ durch $1 + y$ .

$2 (1 + y) - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

Schritt 3

Stelle $1$ und $y$ um.

$x = y + 1$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$8 y + z = 6$

Schritt 4

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $6 - 8 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $z$ in $2 + 2 y - 8 z = 8$ durch $6 - 8 y$ .

$2 + 2 y - 8 (6 - 8 y) = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 + 2 y - 8 (6 - 8 y)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 + 2 y - 8 \cdot 6 - 8 (- 8 y) = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$2 + 2 y - 48 - 8 (- 8 y) = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$2 + 2 y - 48 + 64 y = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$2 + 2 y - 48 + 64 y = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Subtrahiere $48$ von $2$ .

$2 y - 46 + 64 y = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 5.2.1.2.2

Addiere $2 y$ und $64 y$ .

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6

Löse in $66 y - 46 = 8$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Addiere $46$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$66 y = 8 + 46$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.1.2

Addiere $8$ und $46$ .

$66 y = 54$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y = 54$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $66 y = 54$ durch $66$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $66 y = 54$ durch $66$ .

$\frac{66 y}{66} = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $66$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{66 y}{66} = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $66$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $54$ heraus.

$y = \frac{6 (9)}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $66$ heraus.

$y = \frac{6 \cdot 9}{6 \cdot 11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{6 \cdot 9}{6 \cdot 11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{9}{11}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $y$ in $z = 6 - 8 y$ durch $\frac{9}{11}$ .

$z = 6 - 8 (\frac{9}{11})$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $6 - 8 (\frac{9}{11})$ .

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1.1

Multipliziere $- 8 (\frac{9}{11})$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{9}{11}$ .

$z = 6 + \frac{- 8 \cdot 9}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$z = 6 + \frac{- 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = 6 + \frac{- 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = 6 - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = 6 - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$z = 6 \cdot \frac{11}{11} - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{11}{11}$ .

$z = \frac{6 \cdot 11}{11} - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z = \frac{6 \cdot 11 - 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $11$ .

$z = \frac{66 - 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.5.2

Subtrahiere $72$ von $66$ .

$z = \frac{- 6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = \frac{- 6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Schritt 7.3

Ersetze alle $y$ in $x = y + 1$ durch $\frac{9}{11}$ .

$x = (\frac{9}{11}) + 1$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Schritt 7.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache $(\frac{9}{11}) + 1$ .

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Schritt 7.4.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{9}{11} + \frac{11}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Schritt 7.4.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{9 + 11}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Schritt 7.4.1.3

Addiere $9$ und $11$ .

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Schritt 8

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{20}{11}, \frac{9}{11}, - \frac{6}{11})$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{20}{11}, \frac{9}{11}, - \frac{6}{11})$

Gleichungsform:

$x = \frac{20}{11}, y = \frac{9}{11}, z = - \frac{6}{11}$