Finite Mathematik Beispiele

$x + y - z = - 6$ , $3 x - y + z = 2$ , $x + 2 z = 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - z = - 6 - y$

$3 x - y + z = 2$

$x + 2 z = 3$

Schritt 1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6 - y + z$

$3 x - y + z = 2$

$x + 2 z = 3$

$x = - 6 - y + z$

$3 x - y + z = 2$

$x + 2 z = 3$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 6 - y + z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - y + z = 2$ durch $- 6 - y + z$ .

$3 (- 6 - y + z) - y + z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (- 6 - y + z) - y + z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot - 6 + 3 (- y) + 3 z - y + z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$- 18 + 3 (- y) + 3 z - y + z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 18 - 3 y + 3 z - y + z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

$- 18 - 3 y + 3 z - y + z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

$- 18 - 3 y + 3 z - y + z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $y$ von $- 3 y$ .

$- 18 - 4 y + 3 z + z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $3 z$ und $z$ .

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$x + 2 z = 3$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $x + 2 z = 3$ durch $- 6 - y + z$ .

$(- 6 - y + z) + 2 z = 3$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Addiere $z$ und $2 z$ .

$- 6 - y + 3 z = 3$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$- 6 - y + 3 z = 3$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$- 6 - y + 3 z = 3$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3

Löse in $- 6 - y + 3 z = 3$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y + 3 z = 3 + 6$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 3 + 6 - 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.1.3

Addiere $3$ und $6$ .

$- y = 9 - 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$- y = 9 - 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 9 - 3 z$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 9 - 3 z$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- 3 z}{- 1}$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- 3 z}{- 1}$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9}{- 1} + \frac{- 3 z}{- 1}$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$y = \frac{9}{- 1} + \frac{- 3 z}{- 1}$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $9$ durch $- 1$ .

$y = - 9 + \frac{- 3 z}{- 1}$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3 z}{- 1}$ .

$y = - 9 - 1 \cdot (- 3 z)$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (- 3 z)$ als $- (- 3 z)$ um.

$y = - 9 - (- 3 z)$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - 9 + 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$y = - 9 + 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$y = - 9 + 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$y = - 9 + 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

$y = - 9 + 3 z$

$- 18 - 4 y + 4 z = 2$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 9 + 3 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $- 18 - 4 y + 4 z = 2$ durch $- 9 + 3 z$ .

$- 18 - 4 (- 9 + 3 z) + 4 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 18 - 4 (- 9 + 3 z) + 4 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 18 - 4 \cdot - 9 - 4 (3 z) + 4 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$- 18 + 36 - 4 (3 z) + 4 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- 18 + 36 - 12 z + 4 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

$- 18 + 36 - 12 z + 4 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $- 18$ und $36$ .

$18 - 12 z + 4 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 12 z$ und $4 z$ .

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 - y + z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = - 6 - y + z$ durch $- 9 + 3 z$ .

$x = - 6 - (- 9 + 3 z) + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $- 6 - (- 9 + 3 z) + z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 6 + 9 - (3 z) + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$x = - 6 + 9 - (3 z) + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = - 6 + 9 - 3 z + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 6 + 9 - 3 z + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Addiere $- 6$ und $9$ .

$x = 3 - 3 z + z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 4.4.1.2.2

Addiere $- 3 z$ und $z$ .

$x = 3 - 2 z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = 3 - 2 z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = 3 - 2 z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = 3 - 2 z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = 3 - 2 z$

$18 - 8 z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 5

Löse in $18 - 8 z = 2$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 z = 2 - 18$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $18$ von $2$ .

$- 8 z = - 16$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

$- 8 z = - 16$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 z = - 16$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 z = - 16$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 z}{- 8} = \frac{- 16}{- 8}$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 z}{- 8} = \frac{- 16}{- 8}$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 16}{- 8}$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

$z = \frac{- 16}{- 8}$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

$z = \frac{- 16}{- 8}$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 8$ .

$z = 2$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

$z = 2$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

$z = 2$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

$z = 2$

$x = 3 - 2 z$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $x = 3 - 2 z$ durch $2$ .

$x = 3 - 2 \cdot 2$

$z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $3 - 2 \cdot 2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = 3 - 4$

$z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$x = - 1$

$z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 1$

$z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

$x = - 1$

$z = 2$

$y = - 9 + 3 z$

Schritt 6.3

Ersetze alle $z$ in $y = - 9 + 3 z$ durch $2$ .

$y = - 9 + 3 (2)$

$x = - 1$

$z = 2$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- 9 + 3 (2)$ .

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = - 9 + 6$

$x = - 1$

$z = 2$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $- 9$ und $6$ .

$y = - 3$

$x = - 1$

$z = 2$

$y = - 3$

$x = - 1$

$z = 2$

$y = - 3$

$x = - 1$

$z = 2$

$y = - 3$

$x = - 1$

$z = 2$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, - 3, 2)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, - 3, 2)$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = - 3, z = 2$