Finite Mathematik Beispiele

$x + y + z = 6$ , $x - 2 y - z = 6$ , $2 x - y - 2 z = 6$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + z = 6 - y$

$x - 2 y - z = 6$

$2 x - y - 2 z = 6$

Schritt 1.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6 - y - z$

$x - 2 y - z = 6$

$2 x - y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$x - 2 y - z = 6$

$2 x - y - 2 z = 6$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $6 - y - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x - 2 y - z = 6$ durch $6 - y - z$ .

$(6 - y - z) - 2 y - z = 6$

$x = 6 - y - z$

$2 x - y - 2 z = 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(6 - y - z) - 2 y - z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $2 y$ von $- y$ .

$6 - 3 y - z - z = 6$

$x = 6 - y - z$

$2 x - y - 2 z = 6$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $z$ von $- z$ .

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$2 x - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$2 x - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$2 x - y - 2 z = 6$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $2 x - y - 2 z = 6$ durch $6 - y - z$ .

$2 (6 - y - z) - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $2 (6 - y - z) - y - 2 z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 6 + 2 (- y) + 2 (- z) - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 + 2 (- y) + 2 (- z) - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 - 2 y + 2 (- z) - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 - 2 y - 2 z - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$12 - 2 y - 2 z - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$12 - 2 y - 2 z - y - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Subtrahiere $y$ von $- 2 y$ .

$12 - 3 y - 2 z - 2 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 2.4.1.2.2

Subtrahiere $2 z$ von $- 2 z$ .

$12 - 3 y - 4 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$12 - 3 y - 4 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$12 - 3 y - 4 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$12 - 3 y - 4 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$12 - 3 y - 4 z = 6$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3

Löse in $12 - 3 y - 4 z = 6$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y - 4 z = 6 - 12$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3.1.2

Addiere $4 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 6 - 12 + 4 z$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $12$ von $6$ .

$- 3 y = - 6 + 4 z$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$- 3 y = - 6 + 4 z$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = - 6 + 4 z$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = - 6 + 4 z$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 6}{- 3} + \frac{4 z}{- 3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 6}{- 3} + \frac{4 z}{- 3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 3} + \frac{4 z}{- 3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$y = \frac{- 6}{- 3} + \frac{4 z}{- 3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$y = \frac{- 6}{- 3} + \frac{4 z}{- 3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $- 6$ durch $- 3$ .

$y = 2 + \frac{4 z}{- 3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 3.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$6 - 3 y - 2 z = 6$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2 - \frac{4 z}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $6 - 3 y - 2 z = 6$ durch $2 - \frac{4 z}{3}$ .

$6 - 3 (2 - \frac{4 z}{3}) - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $6 - 3 (2 - \frac{4 z}{3}) - 2 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 - 3 \cdot 2 - 3 (- \frac{4 z}{3}) - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$6 - 6 - 3 (- \frac{4 z}{3}) - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 z}{3}$ in den Zähler.

$6 - 6 - 3 \frac{- 4 z}{3} - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$6 - 6 + 3 (- 1) (\frac{- 4 z}{3}) - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - 6 + 3 \cdot (- 1 \frac{- 4 z}{3}) - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$6 - 6 - 1 (- 4 z) - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

$6 - 6 - 1 (- 4 z) - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$6 - 6 + 4 z - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

$6 - 6 + 4 z - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0 + 4 z - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $0$ und $4 z$ .

$4 z - 2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.2.1.2.3

Subtrahiere $2 z$ von $4 z$ .

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - y - z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = 6 - y - z$ durch $2 - \frac{4 z}{3}$ .

$x = 6 - (2 - \frac{4 z}{3}) - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $6 - (2 - \frac{4 z}{3}) - z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 6 - 1 \cdot 2 + \frac{4 z}{3} - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 6 - 2 + \frac{4 z}{3} - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.3

Multipliziere $- - \frac{4 z}{3}$ .

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Schritt 4.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 6 - 2 + 1 (\frac{4 z}{3}) - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{4 z}{3}$ mit $1$ .

$x = 6 - 2 + \frac{4 z}{3} - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - 2 + \frac{4 z}{3} - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 6 - 2 + \frac{4 z}{3} - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$x = 4 + \frac{4 z}{3} - z$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.3

Um $- z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 4 + \frac{4 z}{3} - z \cdot \frac{3}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1.4.1

Kombiniere $- z$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = 4 + \frac{4 z}{3} + \frac{- z \cdot 3}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 + \frac{4 z - z \cdot 3}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 4 + \frac{4 z - z \cdot 3}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.5.1.1

Faktorisiere $z$ aus $4 z - z \cdot 3$ heraus.

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Schritt 4.4.1.5.1.1.1

Faktorisiere $z$ aus $4 z$ heraus.

$x = 4 + \frac{z \cdot 4 - z \cdot 3}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.5.1.1.2

Faktorisiere $z$ aus $- z \cdot 3$ heraus.

$x = 4 + \frac{z \cdot 4 + z (- 1 \cdot 3)}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.5.1.1.3

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot 4 + z (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$x = 4 + \frac{z (4 - 1 \cdot 3)}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 4 + \frac{z (4 - 1 \cdot 3)}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = 4 + \frac{z (4 - 3)}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.5.1.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$x = 4 + \frac{z \cdot 1}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 4 + \frac{z \cdot 1}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 4.4.1.5.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$2 z = 6$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 z = 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 z = 6$ durch $2$ .

$\frac{2 z}{2} = \frac{6}{2}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 z}{2} = \frac{6}{2}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{6}{2}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$z = \frac{6}{2}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$z = \frac{6}{2}$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$z = 3$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$z = 3$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$z = 3$

$x = 4 + \frac{z}{3}$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $x = 4 + \frac{z}{3}$ durch $3$ .

$x = 4 + \frac{3}{3}$

$z = 3$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $4 + \frac{3}{3}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x = 4 + 1$

$z = 3$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$x = 5$

$z = 3$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 5$

$z = 3$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

$x = 5$

$z = 3$

$y = 2 - \frac{4 z}{3}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $z$ in $y = 2 - \frac{4 z}{3}$ durch $3$ .

$y = 2 - \frac{4 (3)}{3}$

$x = 5$

$z = 3$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $2 - \frac{4 (3)}{3}$ .

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 - \frac{4 \cdot 3}{3}$

$x = 5$

$z = 3$

Schritt 6.4.1.1.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$y = 2 - 1 \cdot 4$

$x = 5$

$z = 3$

$y = 2 - 1 \cdot 4$

$x = 5$

$z = 3$

Schritt 6.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = 2 - 4$

$x = 5$

$z = 3$

$y = 2 - 4$

$x = 5$

$z = 3$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$y = - 2$

$x = 5$

$z = 3$

$y = - 2$

$x = 5$

$z = 3$

$y = - 2$

$x = 5$

$z = 3$

$y = - 2$

$x = 5$

$z = 3$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(5, - 2, 3)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(5, - 2, 3)$

Gleichungsform:

$x = 5, y = - 2, z = 3$