Finite Mathematik Beispiele

$x + y + z = - 3$ , $x - y + 4 z = 18$ , $5 x + y + z = - 23$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + z = - 3 - y$

$x - y + 4 z = 18$

$5 x + y + z = - 23$

Schritt 1.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3 - y - z$

$x - y + 4 z = 18$

$5 x + y + z = - 23$

$x = - 3 - y - z$

$x - y + 4 z = 18$

$5 x + y + z = - 23$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3 - y - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x - y + 4 z = 18$ durch $- 3 - y - z$ .

$(- 3 - y - z) - y + 4 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$5 x + y + z = - 23$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(- 3 - y - z) - y + 4 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$- 3 - 2 y - z + 4 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$5 x + y + z = - 23$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $- z$ und $4 z$ .

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$5 x + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$5 x + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$5 x + y + z = - 23$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $5 x + y + z = - 23$ durch $- 3 - y - z$ .

$5 (- 3 - y - z) + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $5 (- 3 - y - z) + y + z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot - 3 + 5 (- y) + 5 (- z) + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$- 15 + 5 (- y) + 5 (- z) + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 15 - 5 y + 5 (- z) + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 15 - 5 y - 5 z + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$- 15 - 5 y - 5 z + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$- 15 - 5 y - 5 z + y + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Addiere $- 5 y$ und $y$ .

$- 15 - 4 y - 5 z + z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 2.4.1.2.2

Addiere $- 5 z$ und $z$ .

$- 15 - 4 y - 4 z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$- 15 - 4 y - 4 z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$- 15 - 4 y - 4 z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$- 15 - 4 y - 4 z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$- 15 - 4 y - 4 z = - 23$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3

Löse in $- 15 - 4 y - 4 z = - 23$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y - 4 z = - 23 + 15$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.1.2

Addiere $4 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = - 23 + 15 + 4 z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.1.3

Addiere $- 23$ und $15$ .

$- 4 y = - 8 + 4 z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$- 4 y = - 8 + 4 z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - 8 + 4 z$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - 8 + 4 z$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 8}{- 4} + \frac{4 z}{- 4}$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 8}{- 4} + \frac{4 z}{- 4}$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 8}{- 4} + \frac{4 z}{- 4}$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$y = \frac{- 8}{- 4} + \frac{4 z}{- 4}$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$y = \frac{- 8}{- 4} + \frac{4 z}{- 4}$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$y = 2 + \frac{4 z}{- 4}$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 z$ heraus.

$y = 2 + \frac{4 (z)}{- 4}$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{z}{- 1}$ .

$y = 2 - 1 \cdot z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$y = 2 - 1 \cdot z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot z$ als $- z$ um.

$y = 2 - z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$y = 2 - z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$y = 2 - z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$y = 2 - z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

$y = 2 - z$

$- 3 - 2 y + 3 z = 18$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2 - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $- 3 - 2 y + 3 z = 18$ durch $2 - z$ .

$- 3 - 2 (2 - z) + 3 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 3 - 2 (2 - z) + 3 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 - 2 \cdot 2 - 2 (- z) + 3 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 3 - 4 - 2 (- z) + 3 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 3 - 4 + 2 z + 3 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

$- 3 - 4 + 2 z + 3 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$- 7 + 2 z + 3 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $2 z$ und $3 z$ .

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - y - z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = - 3 - y - z$ durch $2 - z$ .

$x = - 3 - (2 - z) - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $- 3 - (2 - z) - z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 3 - 1 \cdot 2 + z - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 3 - 2 + z - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.1.3

Multipliziere $- - z$ .

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Schritt 4.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - 3 - 2 + 1 z - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$x = - 3 - 2 + z - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - 2 + z - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - 2 + z - z$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 - 2 + z - z$ .

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Schritt 4.4.1.2.1.1

Subtrahiere $z$ von $z$ .

$x = - 3 - 2 + 0$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.2.1.2

Addiere $- 3 - 2$ und $0$ .

$x = - 3 - 2$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 3 - 2$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$x = - 5$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 5$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 5$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 5$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

$x = - 5$

$- 7 + 5 z = 18$

$y = 2 - z$

Schritt 5

Löse in $- 7 + 5 z = 18$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 z = 18 + 7$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

Schritt 5.1.2

Addiere $18$ und $7$ .

$5 z = 25$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

$5 z = 25$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $5 z = 25$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 z = 25$ durch $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{25}{5}$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 z}{5} = \frac{25}{5}$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{25}{5}$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

$z = \frac{25}{5}$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

$z = \frac{25}{5}$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $25$ durch $5$ .

$z = 5$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

$z = 5$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

$z = 5$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

$z = 5$

$x = - 5$

$y = 2 - z$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $y = 2 - z$ durch $5$ .

$y = 2 - (5)$

$z = 5$

$x = - 5$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $2 - (5)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = 2 - 5$

$z = 5$

$x = - 5$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$y = - 3$

$z = 5$

$x = - 5$

$y = - 3$

$z = 5$

$x = - 5$

$y = - 3$

$z = 5$

$x = - 5$

$y = - 3$

$z = 5$

$x = - 5$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 5, - 3, 5)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 5, - 3, 5)$

Gleichungsform:

$x = - 5, y = - 3, z = 5$