Finite Mathematik Beispiele

$x + y + 5 z + w = 1$ , $y + 2 z + w = 0$ , $x + 3 y + 7 z + 2 w = 1$ , $x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 5 z + w = 1 - y$

$y + 2 z + w = 0$

$x + 3 y + 7 z + 2 w = 1$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $5 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + w = 1 - y - 5 z$

$y + 2 z + w = 0$

$x + 3 y + 7 z + 2 w = 1$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 1.3

Subtrahiere $w$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + 3 y + 7 z + 2 w = 1$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + 3 y + 7 z + 2 w = 1$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1 - y - 5 z - w$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x + 3 y + 7 z + 2 w = 1$ durch $1 - y - 5 z - w$ .

$(1 - y - 5 z - w) + 3 y + 7 z + 2 w = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(1 - y - 5 z - w) + 3 y + 7 z + 2 w$ .

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Schritt 2.2.1.1

Addiere $- y$ und $3 y$ .

$1 + 2 y - 5 z - w + 7 z + 2 w = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $- 5 z$ und $7 z$ .

$1 + 2 y - w + 2 z + 2 w = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 2.2.1.3

Addiere $- w$ und $2 w$ .

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$x + y + 5 z + 2 w = 1$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $x + y + 5 z + 2 w = 1$ durch $1 - y - 5 z - w$ .

$(1 - y - 5 z - w) + y + 5 z + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $(1 - y - 5 z - w) + y + 5 z + 2 w$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 - y - 5 z - w) + y + 5 z + 2 w$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$1 - 5 z - w + 0 + 5 z + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 2.4.1.1.2

Addiere $1 - 5 z - w$ und $0$ .

$1 - 5 z - w + 5 z + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 2.4.1.1.3

Addiere $- 5 z$ und $5 z$ .

$1 - w + 0 + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 2.4.1.1.4

Addiere $1 - w$ und $0$ .

$1 - w + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$1 - w + 2 w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $- w$ und $2 w$ .

$1 + w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$1 + w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$1 + w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$1 + w = 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $w$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w = 1 - 1$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$w = 0$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$w = 0$

$1 + 2 y + w + 2 z = 1$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $w$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $w$ in $1 + 2 y + w + 2 z = 1$ durch $0$ .

$1 + 2 y + 0 + 2 z = 1$

$w = 0$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $1 + 2 y + 0 + 2 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$1 + 2 y + 0 + 2 z = 1$

$w = 0$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $1 + 2 y$ und $0$ .

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$x = 1 - y - 5 z - w$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 4.3

Ersetze alle $w$ in $x = 1 - y - 5 z - w$ durch $0$ .

$x = 1 - y - 5 z - (0)$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $0$ von $1 - y - 5 z$ .

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$y + 2 z + w = 0$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$y + 2 z + w = 0$

Schritt 4.5

Ersetze alle $w$ in $y + 2 z + w = 0$ durch $0$ .

$y + 2 z + 0 = 0$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

Schritt 4.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache $y + 2 z + 0$ .

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Schritt 4.6.1.1

Entferne die Klammern.

$y + 2 z + 0 = 0$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

Schritt 4.6.1.2

Addiere $y + 2 z$ und $0$ .

$y + 2 z = 0$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$y + 2 z = 0$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$y + 2 z = 0$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$y + 2 z = 0$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 z$

$x = 1 - y - 5 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 2 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = 1 - y - 5 z$ durch $- 2 z$ .

$x = 1 - (- 2 z) - 5 z$

$y = - 2 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $1 - (- 2 z) - 5 z$ .

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = 1 + 2 z - 5 z$

$y = - 2 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $5 z$ von $2 z$ .

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$1 + 2 y + 2 z = 1$

$w = 0$

Schritt 6.3

Ersetze alle $y$ in $1 + 2 y + 2 z = 1$ durch $- 2 z$ .

$1 + 2 (- 2 z) + 2 z = 1$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 6.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $1 + 2 (- 2 z) + 2 z$ .

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$1 - 4 z + 2 z = 1$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $- 4 z$ und $2 z$ .

$1 - 2 z = 1$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$1 - 2 z = 1$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$1 - 2 z = 1$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$1 - 2 z = 1$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 7

Löse in $1 - 2 z = 1$ nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 z = 1 - 1$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 2 z = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$- 2 z = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 z = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 z = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 z}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 z}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{0}{- 2}$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$z = \frac{0}{- 2}$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$z = \frac{0}{- 2}$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$z = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$z = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$z = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$z = 0$

$x = 1 - 3 z$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $z$ in $x = 1 - 3 z$ durch $0$ .

$x = 1 - 3 \cdot 0$

$z = 0$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $1 - 3 \cdot 0$ .

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$x = 1 + 0$

$z = 0$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$x = 1$

$z = 0$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$x = 1$

$z = 0$

$y = - 2 z$

$w = 0$

$x = 1$

$z = 0$

$y = - 2 z$

$w = 0$

Schritt 8.3

Ersetze alle $z$ in $y = - 2 z$ durch $0$ .

$y = - 2 \cdot 0$

$x = 1$

$z = 0$

$w = 0$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0$

$x = 1$

$z = 0$

$w = 0$

$y = 0$

$x = 1$

$z = 0$

$w = 0$

$y = 0$

$x = 1$

$z = 0$

$w = 0$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 1, z = 0, w = 0$