Finite Mathematik Beispiele

$x + 4 y - 3 z = - 8$ , $3 x - y + 3 z = 12$ , $x + y + 6 z = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 z = - 8 - 4 y$

$3 x - y + 3 z = 12$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 1.2

Addiere $3 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$3 x - y + 3 z = 12$

$x + y + 6 z = 1$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$3 x - y + 3 z = 12$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 8 - 4 y + 3 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - y + 3 z = 12$ durch $- 8 - 4 y + 3 z$ .

$3 (- 8 - 4 y + 3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (- 8 - 4 y + 3 z) - y + 3 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot - 8 + 3 (- 4 y) + 3 (3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 + 3 (- 4 y) + 3 (3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$- 24 - 12 y + 3 (3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 24 - 12 y + 9 z - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 12 y + 9 z - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 12 y + 9 z - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $y$ von $- 12 y$ .

$- 24 - 13 y + 9 z + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $9 z$ und $3 z$ .

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $x + y + 6 z = 1$ durch $- 8 - 4 y + 3 z$ .

$(- 8 - 4 y + 3 z) + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $(- 8 - 4 y + 3 z) + y + 6 z$ .

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Schritt 2.4.1.1

Addiere $- 4 y$ und $y$ .

$- 8 - 3 y + 3 z + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $3 z$ und $6 z$ .

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3

Löse in $- 8 - 3 y + 9 z = 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y + 9 z = 1 + 8$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $9 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 1 + 8 - 9 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.1.3

Addiere $1$ und $8$ .

$- 3 y = 9 - 9 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 3 y = 9 - 9 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 9 - 9 z$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 9 - 9 z$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $9$ durch $- 3$ .

$y = - 3 + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $- 3$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 9 z$ heraus.

$y = - 3 + \frac{- 3 (3 z)}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$y = - 3 + \frac{- 3 (3 z)}{- 3 \cdot 1}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 3 + \frac{- 3 (3 z)}{- 3 \cdot 1}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - 3 + \frac{3 z}{1}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 3.2.3.1.2.2.4

Dividiere $3 z$ durch $1$ .

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 3 + 3 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $- 24 - 13 y + 12 z = 12$ durch $- 3 + 3 z$ .

$- 24 - 13 (- 3 + 3 z) + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 24 - 13 (- 3 + 3 z) + 12 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 24 - 13 \cdot - 3 - 13 (3 z) + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 3$ .

$- 24 + 39 - 13 (3 z) + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 13$ .

$- 24 + 39 - 39 z + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 24 + 39 - 39 z + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $- 24$ und $39$ .

$15 - 39 z + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 39 z$ und $12 z$ .

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = - 8 - 4 y + 3 z$ durch $- 3 + 3 z$ .

$x = - 8 - 4 (- 3 + 3 z) + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $- 8 - 4 (- 3 + 3 z) + 3 z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 8 - 4 \cdot - 3 - 4 (3 z) + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = - 8 + 12 - 4 (3 z) + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$x = - 8 + 12 - 12 z + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 + 12 - 12 z + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Addiere $- 8$ und $12$ .

$x = 4 - 12 z + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 4.4.1.2.2

Addiere $- 12 z$ und $3 z$ .

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5

Löse in $15 - 27 z = 12$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 z = 12 - 15$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $15$ von $12$ .

$- 27 z = - 3$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 27 z = - 3$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 27 z = - 3$ durch $- 27$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 27 z = - 3$ durch $- 27$ .

$\frac{- 27 z}{- 27} = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 27$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 27 z}{- 27} = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $- 27$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$z = \frac{- 3 \cdot 1}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 27$ heraus.

$z = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $\frac{1}{9}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $x = 4 - 9 z$ durch $\frac{1}{9}$ .

$x = 4 - 9 (\frac{1}{9})$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $4 - 9 (\frac{1}{9})$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$x = 4 + 9 (- 1) (\frac{1}{9})$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4 + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 - 1$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 1$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Schritt 6.3

Ersetze alle $z$ in $y = - 3 + 3 z$ durch $\frac{1}{9}$ .

$y = - 3 + 3 (\frac{1}{9})$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- 3 + 3 (\frac{1}{9})$ .

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Schritt 6.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = - 3 + 3 (\frac{1}{3 (3)})$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 3 + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3})$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - 3 + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - 3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 \cdot 3 + 1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$y = \frac{- 9 + 1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.5.2

Addiere $- 9$ und $1$ .

$y = \frac{- 8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = \frac{- 8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, - \frac{8}{3}, \frac{1}{9})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, - \frac{8}{3}, \frac{1}{9})$

Gleichungsform:

$x = 3, y = - \frac{8}{3}, z = \frac{1}{9}$