Finite Mathematik Beispiele

$x - 8 y = - 21$ , $- 4 x + 2 y = - 18$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - (- 4 \cdot - 8)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot - 8)$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$2 - 1 \cdot 32$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$2 - 32$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $32$ von $2$ .

$- 30$

$D = - 30$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 21$ mit $2$ .

$- 42 - (- 18 \cdot - 8)$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 18 \cdot - 8)$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 8$ .

$- 42 - 1 \cdot 144$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$- 42 - 144$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $144$ von $- 42$ .

$- 186$

$D_{x} = - 186$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 186$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 186}{- 30}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 186$ und $- 30$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 186$ heraus.

$x = \frac{- 6 (31)}{- 30}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 30$ heraus.

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{31}{5}$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$- 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot - 21)$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 21$ .

$- 18 - 1 \cdot 84$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $84$ .

$- 18 - 84$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $84$ von $- 18$ .

$- 102$

$D_{y} = - 102$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 102$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 102}{- 30}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 102$ und $- 30$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 102$ heraus.

$y = \frac{- 6 (17)}{- 30}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 30$ heraus.

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{17}{5}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{31}{5}$

$y = \frac{17}{5}$