Finite Mathematik Beispiele

x - 8 y = - 21

$x - 8 y = - 21$ ,

- 4 x + 2 y = - 18

$- 4 x + 2 y = - 18$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

[\begin{matrix} 1 & - 8 - 4 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 21 - 18 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix

[\begin{matrix} 1 & - 8 - 4 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Write

[\begin{matrix} 1 & - 8 - 4 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 8 - 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)

$1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2 - (- 4 \cdot - 8)

$2 - (- 4 \cdot - 8)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere

- (- 4 \cdot - 8)

$- (- 4 \cdot - 8)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 8

$- 8$ .

2 - 1 \cdot 32

$2 - 1 \cdot 32$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

32

$32$ .

2 - 32

$2 - 32$

2 - 32

$2 - 32$

2 - 32

$2 - 32$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere

32

$32$ von

2

$2$ .

- 30

$- 30$

- 30

$- 30$

D = - 30

$D = - 30$

Schritt 3

Since the determinant is not

0

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of

x

$x$ by Cramer's Rule, which states that

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Replace column

1

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

x

$x$ -coefficients of the system with

[\begin{matrix} - 21 - 18 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 21 & - 8 - 18 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)

$- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 21

$- 21$ mit

2

$2$ .

- 42 - (- 18 \cdot - 8)

$- 42 - (- 18 \cdot - 8)$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 18 \cdot - 8)

$- (- 18 \cdot - 8)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 18

$- 18$ mit

- 8

$- 8$ .

- 42 - 1 \cdot 144

$- 42 - 1 \cdot 144$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

144

$144$ .

- 42 - 144

$- 42 - 144$

- 42 - 144

$- 42 - 144$

- 42 - 144

$- 42 - 144$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere

144

$144$ von

- 42

$- 42$ .

- 186

$- 186$

- 186

$- 186$

D_{x} = - 186

$D_{x} = - 186$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute

- 30

$- 30$ for

D

$D$ and

- 186

$- 186$ for

D_{x}

$D_{x}$ in the formula.

x = \frac{- 186}{- 30}

$x = \frac{- 186}{- 30}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 186

$- 186$ und

- 30

$- 30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Faktorisiere

- 6

$- 6$ aus

- 186

$- 186$ heraus.

x = \frac{- 6 (31)}{- 30}

$x = \frac{- 6 (31)}{- 30}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere

- 6

$- 6$ aus

- 30

$- 30$ heraus.

x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{31}{5}$

Schritt 5

Find the value of

$y$ by Cramer's Rule, which states that

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Replace column

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$y$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere

$- 18$ mit

$1$ .

$- 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere

$- (- 4 \cdot - 21)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 21$ .

$- 18 - 1 \cdot 84$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$84$ .

$- 18 - 84$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere

$84$ von

$- 18$ .

$- 102$

$D_{y} = - 102$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute

$- 30$ for

$D$ and

$- 102$ for

$D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 102}{- 30}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 102$ und

$- 30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Faktorisiere

$- 6$ aus

$- 102$ heraus.

$y = \frac{- 6 (17)}{- 30}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere

$- 6$ aus

$- 30$ heraus.

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{17}{5}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{31}{5}$

$y = \frac{17}{5}$