Finite Mathematik Beispiele

$x + 3 y = 15$ , $2 x + y = 12$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 1 - 2 \cdot 3$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - 2 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$1 - 6$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$- 5$

$D = - 5$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 15 & 3 \\ 12 & 1 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$15 \cdot 1 - 12 \cdot 3$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$15 - 12 \cdot 3$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$15 - 36$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $15$ .

$- 21$

$D_{x} = - 21$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 21$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 21}{- 5}$

Schritt 4.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{21}{5}$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 15 \\ 2 & 12 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 12 - 2 \cdot 15$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 - 2 \cdot 15$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $15$ .

$12 - 30$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $30$ von $12$ .

$- 18$

$D_{y} = - 18$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 18$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 18}{- 5}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{18}{5}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{21}{5}$

$y = \frac{18}{5}$