Finite Mathematik Beispiele

$2 x + 2 y - z = 7$ , $x - 3 y + z = 24$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - z = 7 - 2 y$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7 - 2 y + z$

$x - 3 y + z = 24$

$2 x = 7 - 2 y + z$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7 - 2 y + z$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7 - 2 y + z$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{- 2 y}{2} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{- 2 y}{2} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 2 y}{2} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 2 y}{2} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 2 y}{2} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 (- y)}{2} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7}{2} + \frac{- y}{1} + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 1.2.3.1.2.4

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$x - 3 y + z = 24$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $(\frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}) - 3 y + z$ .

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $3 y$ von $- y$ .

$\frac{7}{2} - 4 y + \frac{z}{2} + z = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.2

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} - 4 y + \frac{z}{2} + z \cdot \frac{2}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $z$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} - 4 y + \frac{z}{2} + \frac{z \cdot 2}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{2} - 4 y + \frac{z + z \cdot 2}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 y + \frac{7 + z + z \cdot 2}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$- 4 y + \frac{7 + z + z \cdot 2}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z$ .

$- 4 y + \frac{7 + z + 2 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.5

Addiere $z$ und $2 z$ .

$- 4 y + \frac{7 + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.6

Um $- 4 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 4 y \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.7

Kombiniere $- 4 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 y \cdot 2}{2} + \frac{7 + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 y \cdot 2 + 7 + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{- 8 y + 7 + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 y$ heraus.

$\frac{- (8 y) + 7 + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{- (8 y) - 1 \cdot - 7 + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 y) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{- (8 y - 7) + 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $- 1$ aus $3 z$ heraus.

$\frac{- (8 y - 7) - (- 3 z)}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 y - 7) - (- 3 z)$ heraus.

$\frac{- (8 y - 7 - 3 z)}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.15.1

Schreibe $- (8 y - 7 - 3 z)$ als $- 1 (8 y - 7 - 3 z)$ um.

$\frac{- 1 (8 y - 7 - 3 z)}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.15.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 y - 7 - 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$- \frac{8 y - 7 - 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$- \frac{8 y - 7 - 3 z}{2} = 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{8 y - 7 - 3 z}{2}) = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{8 y - 7 - 3 z}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8 y - 7 - 3 z}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- (8 y - 7 - 3 z)}{2} = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) (\frac{- (8 y - 7 - 3 z)}{2}) = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (- 1 \frac{- (8 y - 7 - 3 z)}{2}) = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$8 y - 7 - 3 z = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$8 y - 7 - 3 z = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (8 y - 7 - 3 z) = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $8 y - 7 - 3 z$ mit $1$ .

$8 y - 7 - 3 z = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$8 y - 7 - 3 z = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$8 y - 7 - 3 z = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$8 y - 7 - 3 z = - 2 \cdot 24$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $24$ .

$8 y - 7 - 3 z = - 48$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$8 y - 7 - 3 z = - 48$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$8 y - 7 - 3 z = - 48$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 - 3 z = - 48 - 8 y$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 z = - 48 - 8 y + 7$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4.3

Addiere $- 48$ und $7$ .

$- 3 z = - 8 y - 41$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$- 3 z = - 8 y - 41$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = - 8 y - 41$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = - 8 y - 41$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- 8 y}{- 3} + \frac{- 41}{- 3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- 8 y}{- 3} + \frac{- 41}{- 3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 8 y}{- 3} + \frac{- 41}{- 3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$z = \frac{- 8 y}{- 3} + \frac{- 41}{- 3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$z = \frac{- 8 y}{- 3} + \frac{- 41}{- 3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{- 41}{- 3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 2.5.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{7}{2} - y + \frac{z}{2}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{7}{2} - y + \frac{\frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = - y + \frac{7 + \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = - y + \frac{\frac{8 y}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} + \frac{41}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = - y + \frac{\frac{8 y}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} + \frac{41}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = - y + \frac{\frac{8 y}{3} + \frac{7 \cdot 3 + 41}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$x = - y + \frac{\frac{8 y}{3} + \frac{21 + 41}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.5.2

Addiere $21$ und $41$ .

$x = - y + \frac{\frac{8 y}{3} + \frac{62}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = - y + \frac{\frac{8 y}{3} + \frac{62}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.6.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = - y + \frac{\frac{8 y + 62}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 y + 62$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y$ heraus.

$x = - y + \frac{\frac{2 (4 y) + 62}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.6.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $62$ heraus.

$x = - y + \frac{\frac{2 (4 y) + 2 (31)}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.6.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 y) + 2 (31)$ heraus.

$x = - y + \frac{\frac{2 (4 y + 31)}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = - y + \frac{\frac{2 (4 y + 31)}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = - y + \frac{\frac{2 (4 y + 31)}{3}}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - y + \frac{2 (4 y + 31)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - y + \frac{2 (4 y + 31)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - y + \frac{4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = - y + \frac{4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = - y + \frac{4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.7

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = - y \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.8.1

Kombiniere $- y$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{- y \cdot 3}{3} + \frac{4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- y \cdot 3 + 4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{- y \cdot 3 + 4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 y + 4 y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

Schritt 3.1.9.2

Addiere $- 3 y$ und $4 y$ .

$x = \frac{y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$

$x = \frac{y + 31}{3}$

$z = \frac{8 y}{3} + \frac{41}{3}$