Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} - (\frac{11}{27}) & - (\frac{13}{27}) & \frac{8}{27} \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{13}{27}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{27} & - \frac{13}{27} & \frac{8}{27} \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Schritt 2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- \frac{11}{27} | \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Schritt 2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Schritt 2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Schritt 2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.1.9

Add the terms together.

$- \frac{11}{27} | \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2

Berechne $| \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$ .

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Schritt 2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{81} (- \frac{10}{81}) - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere $- \frac{1}{81} (- \frac{10}{81})$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{11}{27} (1 (\frac{1}{81}) \frac{10}{81} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{81}$ mit $1$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{1}{81} \cdot \frac{10}{81} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{81}$ mit $\frac{10}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{81 \cdot 81} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.1.2

Multipliziere $- \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{81}$ mit $\frac{23}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{11 \cdot 23}{81 \cdot 81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $23$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{253}{81 \cdot 81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{253}{6561}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{10 - 253}{6561} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.3

Subtrahiere $253$ von $10$ .

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{- 243}{6561} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 243$ und $6561$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Faktorisiere $243$ aus $- 243$ heraus.

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{243 (- 1)}{6561} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.4.2.1

Faktorisiere $243$ aus $6561$ heraus.

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{243 \cdot - 1}{243 \cdot 27} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{- 1}{27} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$ .

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Schritt 2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{5}{81} (- \frac{10}{81}) - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $- \frac{5}{81} (- \frac{10}{81})$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (1 (\frac{5}{81}) \frac{10}{81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{81}$ mit $1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{5}{81} \cdot \frac{10}{81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5}{81}$ mit $\frac{10}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{5 \cdot 10}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.1.5

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $- \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{81}$ mit $\frac{34}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{11 \cdot 34}{81 \cdot 81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $34$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{374}{81 \cdot 81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{374}{6561}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{50 - 374}{6561} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $374$ von $50$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{- 324}{6561} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 324$ und $6561$ .

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Schritt 2.3.2.4.1

Faktorisiere $81$ aus $- 324$ heraus.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{81 (- 4)}{6561} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $81$ aus $6561$ heraus.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{81 \cdot - 4}{81 \cdot 81} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{- 4}{81} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$ .

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Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{5}{81} \cdot \frac{23}{81} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere $- \frac{5}{81} \cdot \frac{23}{81}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{23}{81}$ mit $\frac{5}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{23 \cdot 5}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $23$ mit $5$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Schritt 2.4.2.1.2

Multipliziere $- \frac{34}{81} (- \frac{1}{81})$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + 1 (\frac{34}{81}) \frac{1}{81})$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{34}{81}$ mit $1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + \frac{34}{81} \cdot \frac{1}{81})$

Schritt 2.4.2.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{34}{81}$ mit $\frac{1}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + \frac{34}{81 \cdot 81})$

Schritt 2.4.2.1.2.4

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + \frac{34}{6561})$

Schritt 2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{- 115 + 34}{6561}$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- 115$ und $34$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{- 81}{6561}$

Schritt 2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 81$ und $6561$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.1

Faktorisiere $81$ aus $- 81$ heraus.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{81 (- 1)}{6561}$

Schritt 2.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.2.1

Faktorisiere $81$ aus $6561$ heraus.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{81 \cdot - 1}{81 \cdot 81}$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{81 \cdot - 1}{81 \cdot 81}$

Schritt 2.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{- 1}{81}$

Schritt 2.4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Multipliziere $- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{11}{27}) \frac{1}{27} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{11}{27}$ mit $1$ .

$\frac{11}{27} \cdot \frac{1}{27} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{11}{27}$ mit $\frac{1}{27}$ .

$\frac{11}{27 \cdot 27} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5.1.1.4

Mutltipliziere $27$ mit $27$ .

$\frac{11}{729} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $\frac{13}{27} (- \frac{4}{81})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{13}{27}$ mit $\frac{4}{81}$ .

$\frac{11}{729} - \frac{13 \cdot 4}{27 \cdot 81} + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $4$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{27 \cdot 81} + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5.1.2.3

Mutltipliziere $27$ mit $81$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{2187} + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Schritt 2.5.1.3

Multipliziere $\frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$ .

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Schritt 2.5.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{27}$ mit $\frac{1}{81}$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{2187} - \frac{8}{27 \cdot 81}$

Schritt 2.5.1.3.2

Mutltipliziere $27$ mit $81$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{2187} - \frac{8}{2187}$

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11}{729} + \frac{- 52 - 8}{2187}$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $8$ von $- 52$ .

$\frac{11}{729} + \frac{- 60}{2187}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $2187$ .

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Schritt 2.5.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 60$ heraus.

$\frac{11}{729} + \frac{3 (- 20)}{2187}$

Schritt 2.5.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2187$ heraus.

$\frac{11}{729} + \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 729}$

Schritt 2.5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11}{729} + \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 729}$

Schritt 2.5.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{729} + \frac{- 20}{729}$

Schritt 2.5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{11}{729} - \frac{20}{729}$

Schritt 2.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11 - 20}{729}$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $20$ von $11$ .

$\frac{- 9}{729}$

Schritt 2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $729$ .

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Schritt 2.5.7.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{9 (- 1)}{729}$

Schritt 2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.7.2.1

Faktorisiere $9$ aus $729$ heraus.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 81}$

Schritt 2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 81}$

Schritt 2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{81}$

Schritt 2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{81}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{27} & - \frac{13}{27} & \frac{8}{27} & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{27}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{27}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{27}{11} (- \frac{11}{27}) & - \frac{27}{11} (- \frac{13}{27}) & - \frac{27}{11} \cdot \frac{8}{27} & - \frac{27}{11} \cdot 1 & - \frac{27}{11} \cdot 0 & - \frac{27}{11} \cdot 0 \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{81} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{81} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ - \frac{5}{81} + \frac{5}{81} \cdot 1 & - \frac{1}{81} + \frac{5}{81} \cdot \frac{13}{11} & \frac{11}{81} + \frac{5}{81} (- \frac{8}{11}) & 0 + \frac{5}{81} (- \frac{27}{11}) & 1 + \frac{5}{81} \cdot 0 & 0 + \frac{5}{81} \cdot 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{33} & \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{34}{81} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{34}{81} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{33} & \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} - \frac{34}{81} \cdot 1 & \frac{23}{81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{13}{11} & - \frac{10}{81} - \frac{34}{81} (- \frac{8}{11}) & 0 - \frac{34}{81} (- \frac{27}{11}) & 0 - \frac{34}{81} \cdot 0 & 1 - \frac{34}{81} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{33} & \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{7}{33} & \frac{2}{11} & \frac{34}{33} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{33}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{33}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ \frac{33}{2} \cdot 0 & \frac{33}{2} \cdot \frac{2}{33} & \frac{33}{2} \cdot \frac{1}{11} & \frac{33}{2} (- \frac{5}{33}) & \frac{33}{2} \cdot 1 & \frac{33}{2} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{7}{33} & \frac{2}{11} & \frac{34}{33} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7}{33} & \frac{2}{11} & \frac{34}{33} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{7}{33} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{7}{33} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 + \frac{7}{33} \cdot 0 & - \frac{7}{33} + \frac{7}{33} \cdot 1 & \frac{2}{11} + \frac{7}{33} \cdot \frac{3}{2} & \frac{34}{33} + \frac{7}{33} (- \frac{5}{2}) & 0 + \frac{7}{33} \cdot \frac{33}{2} & 1 + \frac{7}{33} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & 1 \end{array}]$

Schritt 5.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 5.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{7}{2}) & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.6.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 5.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & \frac{33}{2} - \frac{3}{2} \cdot 7 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.7.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{11} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{11} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{11} \cdot 0 & \frac{13}{11} + \frac{8}{11} \cdot 0 & - \frac{8}{11} + \frac{8}{11} \cdot 1 & - \frac{27}{11} + \frac{8}{11} \cdot 1 & 0 + \frac{8}{11} \cdot 7 & 0 + \frac{8}{11} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & 0 & - \frac{19}{11} & \frac{56}{11} & \frac{16}{11} \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{13}{11} \cdot 0 & \frac{13}{11} - \frac{13}{11} \cdot 1 & 0 - \frac{13}{11} \cdot 0 & - \frac{19}{11} - \frac{13}{11} \cdot - 4 & \frac{56}{11} - \frac{13}{11} \cdot 6 & \frac{16}{11} - \frac{13}{11} \cdot - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.9.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 6

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 5 \\ - 4 & 6 & - 3 \\ 1 & 7 & 2 \end{array}]$