Finite Mathematik Beispiele

$A = [\begin{array}{c} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (5 \cdot 5 - 6 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$1 (25 - 6 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$1 (25 - 24) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $24$ von $25$ .

$1 \cdot 1 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 1 - 4 (2 \cdot 5 - 3 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$1 \cdot 1 - 4 (10 - 3 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$1 \cdot 1 - 4 (10 - 12) + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $12$ von $10$ .

$1 \cdot 1 - 4 \cdot - 2 + 2 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 1 - 4 \cdot - 2 + 2 (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$1 \cdot 1 - 4 \cdot - 2 + 2 (12 - 3 \cdot 5)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$1 \cdot 1 - 4 \cdot - 2 + 2 (12 - 15)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $15$ von $12$ .

$1 \cdot 1 - 4 \cdot - 2 + 2 \cdot - 3$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - 4 \cdot - 2 + 2 \cdot - 3$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$1 + 8 + 2 \cdot - 3$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$1 + 8 - 6$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$9 - 6$

Schritt 5.3

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$3$