Finite Mathematik Beispiele

$5 [\begin{array}{c} 6 & - 9 \\ - 3 & - 7 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $5$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 6 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Schritt 2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$[\begin{array}{c} 30 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & - 35 \end{array}]$

Schritt 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 4

Find the determinant.

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$30 \cdot - 35 - (- 15 \cdot - 45)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $30$ mit $- 35$ .

$- 1050 - (- 15 \cdot - 45)$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- (- 15 \cdot - 45)$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 45$ .

$- 1050 - 1 \cdot 675$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $675$ .

$- 1050 - 675$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $675$ von $- 1050$ .

$- 1725$

Schritt 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

Schritt 8

Multipliziere $- \frac{1}{1725}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{1725}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $5$ aus $1725$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (345)} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 35$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{345} \cdot - 7 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{- 1}{345}$ und $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 9.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{1725}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $15$ aus $1725$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.4.3

Faktorisiere $15$ aus $45$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.4.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{115} \cdot 3 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.5

Kombiniere $\frac{- 1}{115}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1 \cdot 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 9.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{1725}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.8.2

Faktorisiere $15$ aus $1725$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.8.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 9.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{1725}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.10.2

Faktorisiere $15$ aus $1725$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 9.10.3

Faktorisiere $15$ aus $30$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

Schritt 9.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

Schritt 9.10.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{115} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 9.11

Kombiniere $\frac{- 1}{115}$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1 \cdot 2}{115} \end{array}]$

Schritt 9.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 2}{115} \end{array}]$

Schritt 9.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{2}{115} \end{array}]$