Finite Mathematik Beispiele

$5 a = [\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 3 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 9 - 3 \cdot - 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$- 45 - 3 \cdot - 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$- 45 + 12$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 45$ und $12$ .

$- 33$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 33} [\begin{array}{c} - 9 & 4 \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{33} [\begin{array}{c} - 9 & 4 \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{33}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{33} \cdot - 9 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{33}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{33} \cdot - 9 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $3$ aus $33$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (11)} \cdot - 9 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{11} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{- 1}{11}$ und $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 3}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.4

Multipliziere $- \frac{1}{33} \cdot 4$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - 4 (\frac{1}{33}) \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & \frac{- 4}{33} \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{33}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.6.2

Faktorisiere $3$ aus $33$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{3 (11)} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.6.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{11} \cdot - 1 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.7

Kombiniere $\frac{- 1}{11}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- - 1}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.9

Multipliziere $- \frac{1}{33} \cdot 5$ .

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Schritt 7.9.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & - 5 (\frac{1}{33}) \end{array}]$

Schritt 7.9.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & \frac{- 5}{33} \end{array}]$

Schritt 7.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} \end{array}]$