Finite Mathematik Beispiele

$3 X = [\begin{array}{c} \frac{17}{22} & \frac{31}{110} \\ - \frac{4}{11} & \frac{16}{55} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{17}{22} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$\frac{17}{2 (11)} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{17}{11} \cdot \frac{8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{17}{11}$ mit $\frac{8}{55}$ .

$\frac{17 \cdot 8}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $17$ mit $8$ .

$\frac{136}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $11$ mit $55$ .

$\frac{136}{605} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{11}$ in den Zähler.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{136}{605} - (\frac{2 (- 2)}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Schritt 2.2.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $110$ heraus.

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Schritt 2.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Schritt 2.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 2}{11} \cdot \frac{31}{55})$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{11}$ mit $\frac{31}{55}$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 2 \cdot 31}{11 \cdot 55}$

Schritt 2.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $31$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{11 \cdot 55}$

Schritt 2.2.1.8

Mutltipliziere $11$ mit $55$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{605}$

Schritt 2.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{136}{605} - - \frac{62}{605}$

Schritt 2.2.1.10

Multipliziere $- - \frac{62}{605}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{136}{605} + 1 (\frac{62}{605})$

Schritt 2.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{62}{605}$ mit $1$ .

$\frac{136}{605} + \frac{62}{605}$

Schritt 2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{136 + 62}{605}$

Schritt 2.2.3

Addiere $136$ und $62$ .

$\frac{198}{605}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $198$ und $605$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $11$ aus $198$ heraus.

$\frac{11 (18)}{605}$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $11$ aus $605$ heraus.

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{55}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{18}{55}} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{55}{18}) [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{55}{18}$ mit $1$ .

$\frac{55}{18} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 7

Multipliziere $\frac{55}{18}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $55$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{18} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (9)} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.2.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} \cdot 8 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $55$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{31}{110}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{110} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $55$ aus $110$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 (2)} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.4.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{1}{18} \cdot \frac{- 31}{2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $\frac{1}{18}$ mit $\frac{- 31}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{18 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.1

Faktorisiere $11$ aus $55$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{18} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.9.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 (9)} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.9.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.9.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{9} \cdot 2 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.10

Kombiniere $\frac{5}{9}$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5 \cdot 2}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.11

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.12.1

Faktorisiere $11$ aus $55$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Schritt 8.12.2

Faktorisiere $11$ aus $22$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 8.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 8.12.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5}{18} \cdot \frac{17}{2} \end{array}]$

Schritt 8.13

Mutltipliziere $\frac{5}{18}$ mit $\frac{17}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5 \cdot 17}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 8.14

Mutltipliziere $5$ mit $17$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 8.15

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{36} \end{array}]$