Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6$

Schritt 1

Adding $6$ to a $2 \times 2$ square matrix is the same as adding $6$ times the $2 \times 2$ identity matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2

Multipliziere $6$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

Schritt 4

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 5 + 6 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Schritt 5

Simplify each element.

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Schritt 5.1

Addiere $5$ und $6$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Schritt 5.2

Addiere $9$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 3 + 6 \end{array}]$

Schritt 5.4

Addiere $3$ und $6$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

Schritt 6

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 7

Find the determinant.

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Schritt 7.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$11 \cdot 9 - 2 \cdot 9$

Schritt 7.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $9$ .

$99 - 2 \cdot 9$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$99 - 18$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $18$ von $99$ .

$81$

Schritt 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{81} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 2 & 11 \end{array}]$

Schritt 10

Multipliziere $\frac{1}{81}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.1.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 (9)} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.2.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \cdot - 1 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{- 1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.5

Kombiniere $\frac{1}{81}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{- 2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Schritt 11.7

Kombiniere $\frac{1}{81}$ und $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{11}{81} \end{array}]$