Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot 6 - 4 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$30 - 4 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$30 - 16$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $16$ von $30$ .

$14$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 4 & 5 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{14}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14} \cdot 6 & \frac{1}{14} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (7)} \cdot 6 & \frac{1}{14} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{14} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{14} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} \cdot 3 & \frac{1}{14} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & \frac{1}{14} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & \frac{1}{7} \cdot - 2 \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & \frac{- 2}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ \frac{1}{2 (7)} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 2) & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 2) & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.6.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ \frac{1}{7} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.7

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ \frac{- 2}{7} & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ - \frac{2}{7} & \frac{1}{14} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{1}{14}$ und $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ - \frac{2}{7} & \frac{5}{14} \end{array}]$