Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 7 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$6 \cdot 7 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$42 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$42 - 8$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $8$ von $42$ .

$34$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{34} [\begin{array}{c} 7 & - 4 \\ - 2 & 6 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{34}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{34} \cdot 7 & \frac{1}{34} \cdot - 4 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{34}$ und $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{34} \cdot - 4 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{2 (17)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{17} \cdot - 2 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{17}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{- 2}{17} \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{2 (17)} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.5.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{17} \cdot - 1 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{1}{17}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{- 1}{17} & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.8.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{2 (17)} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 6.8.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Schritt 6.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Schritt 6.8.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{1}{17}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{3}{17} \end{array}]$