Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} p & \ln (e) \\ 4^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

Schritt 1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 4^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

Schritt 2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

Schritt 3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{2 (\frac{5}{2})} & \sqrt{5} \end{array}]$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{2 (\frac{5}{2})} & \sqrt{5} \end{array}]$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{5} & \sqrt{5} \end{array}]$

Schritt 5

Potenziere $2$ mit $5$ .

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 32 & \sqrt{5} \end{array}]$

Schritt 6

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 7

Find the determinant.

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Schritt 7.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p \sqrt{5} - 32 \cdot 1$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$p \sqrt{5} - 32$

Schritt 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{p \sqrt{5} - 32} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{p \sqrt{5} - 32}$ mit $\frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32}$ .

$\frac{1}{p \sqrt{5} - 32} \cdot \frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{p \sqrt{5} - 32}$ mit $\frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32}$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{(p \sqrt{5} - 32) (p \sqrt{5} + 32)} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 12

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} {\sqrt{5}}^{2} + p \sqrt{5} \cdot 32 - 32 (p \sqrt{5}) - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 13.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{1} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 13.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5 - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 13.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $p^{2}$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Schritt 14

Multipliziere $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \sqrt{5} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ und $\sqrt{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{(p \sqrt{5} + 32) \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} \frac{p \sqrt{5} \sqrt{5} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.3

Multipliziere $p \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Schritt 15.3.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$[\begin{array}{c} \frac{p {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p {\sqrt{5}}^{2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.4.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 15.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$[\begin{array}{c} \frac{p {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 15.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{1} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.4.1.5

Berechne den Exponenten.

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5 + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $p$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.5

Kombiniere $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{(p \sqrt{5} + 32) \cdot - 1}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $p \sqrt{5} + 32$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{- 1 \cdot (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.8

Kombiniere $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ und $- 32$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{(p \sqrt{5} + 32) \cdot - 32}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.9

Bringe $- 32$ auf die linke Seite von $p \sqrt{5} + 32$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{- 32 \cdot (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ - \frac{32 (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Schritt 15.11

Kombiniere $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ und $p$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ - \frac{32 (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{(p \sqrt{5} + 32) p}{5 p^{2} - 1024} \end{array}]$