Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 + 0 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $36$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $27$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $21$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $- 26$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $10$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (28 - λ) ((- 3 - λ) (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(- 3 - λ) (- 6 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Addiere $3 λ$ und $6 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 210) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $210$ von $18$ .

$p (λ) = (28 - λ) (9 λ + λ^{2} - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3

Stelle $9 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 (- 6 - λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 \cdot - 6 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.4

Multipliziere $- (- 26 \cdot 21)$ .

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Schritt 5.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 26$ mit $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - - 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ + 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 162$ und $546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (27 \cdot 10 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $27$ mit $10$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 \cdot - 3 - 26 (- λ)))$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 26$ mit $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 - 26 (- λ)))$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 26$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 + 26 λ))$

Schritt 5.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 1 \cdot 78 - (26 λ))$

Schritt 5.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $78$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - (26 λ))$

Schritt 5.4.2.1.7

Mutltipliziere $26$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - 26 λ)$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $78$ von $270$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (192 - 26 λ)$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $192$ und $- 26 λ$ um.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Multipliziere $(28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 28 (9 λ) + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $28$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $- 192$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{2 + 1} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.2.7

Mutltipliziere $- 192$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.3

Subtrahiere $9 λ^{2}$ von $28 λ^{2}$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.4

Addiere $252 λ$ und $192 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ) - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.6

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 4$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $384$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ + 192)$

Schritt 5.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ) + 36 \cdot 192$

Schritt 5.5.1.9

Mutltipliziere $- 26$ mit $36$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 36 \cdot 192$

Schritt 5.5.1.10

Mutltipliziere $36$ mit $192$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 6912$

Schritt 5.5.2

Addiere $444 λ$ und $108 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 552 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 - 936 λ + 6912$

Schritt 5.5.3

Subtrahiere $936 λ$ von $552 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 + 6912$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere $1536$ von $- 5376$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$

Schritt 5.5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$ .

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Schritt 5.5.5.1

Addiere $- 6912$ und $6912$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} + 0$

Schritt 5.5.5.2

Addiere $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$

Schritt 5.5.6

Bewege $- 384 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - λ^{3} - 384 λ$

Schritt 5.5.7

Stelle $19 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- λ$ aus $19 λ^{2}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - 384 λ = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- λ$ aus $- 384 λ$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2}) - λ (- 19 λ)$ heraus.

$- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ (384)$ heraus.

$- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ$ gleich $0$ .

$λ = 0$

Schritt 7.4

Setze $λ^{2} - 19 λ + 384$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $λ^{2} - 19 λ + 384$ gleich $0$ .

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 19$ und $c = 384$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 384)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.3.1.1

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 384$ .

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Schritt 7.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $384$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 1536}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.3

Subtrahiere $1536$ von $361$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.4

Schreibe $- 1175$ als $- 1 (1175)$ um.

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1175)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ um.

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.7

Schreibe $1175$ als $5^{2} \cdot 47$ um.

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Schritt 7.4.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $1175$ heraus.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2}$

Schritt 7.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$ wahr machen.

$λ = 0, \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$