Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $45$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $6$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (14 - λ) ((43 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(43 - λ) (9 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (14 - λ) (43 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $43$ mit $9$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $43$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Subtrahiere $9 λ$ von $- 43 λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 48) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $48$ von $387$ .

$p (λ) = (14 - λ) (- 52 λ + λ^{2} + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3

Stelle $- 52 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (1 (9 - λ) - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $9 - λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 12) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (1 \cdot 8 - 2 (43 - λ))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 (43 - λ))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 \cdot 43 - 2 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $43$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 - 2 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 + 2 λ)$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $86$ von $8$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (- 78 + 2 λ)$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $- 78$ und $2 λ$ um.

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Multipliziere $(14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 14 λ^{2} + 14 (- 52 λ) + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 52$ mit $14$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $339$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{2 + 1} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ \cdot λ - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 (λ \cdot λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 52$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.2.7

Mutltipliziere $339$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.3

Addiere $14 λ^{2}$ und $52 λ^{2}$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.4

Subtrahiere $339 λ$ von $- 728 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ) - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 45$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.7

Mutltipliziere $- 45$ mit $- 3$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ - 78)$

Schritt 5.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ) + 5 \cdot - 78$

Schritt 5.5.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ + 5 \cdot - 78$

Schritt 5.5.1.10

Mutltipliziere $5$ mit $- 78$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ - 390$

Schritt 5.5.2

Addiere $- 1067 λ$ und $45 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1022 λ + 4746 - λ^{3} + 135 + 10 λ - 390$

Schritt 5.5.3

Addiere $- 1022 λ$ und $10 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ + 4746 - λ^{3} + 135 - 390$

Schritt 5.5.4

Addiere $4746$ und $135$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4881 - 390$

Schritt 5.5.5

Subtrahiere $390$ von $4881$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4491$

Schritt 5.5.6

Bewege $- 1012 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - λ^{3} - 1012 λ + 4491$

Schritt 5.5.7

Stelle $66 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

Schritt 7.1.3

Setze $9$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $9$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.3.1

Setze $9$ in das Polynom ein.

$- 9^{3} + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $729$ .

$- 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Schritt 7.1.3.4

Potenziere $9$ mit $2$ .

$- 729 + 66 \cdot 81 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Schritt 7.1.3.5

Mutltipliziere $66$ mit $81$ .

$- 729 + 5346 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Schritt 7.1.3.6

Addiere $- 729$ und $5346$ .

$4617 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Schritt 7.1.3.7

Mutltipliziere $- 1012$ mit $9$ .

$4617 - 9108 + 4491$

Schritt 7.1.3.8

Subtrahiere $9108$ von $4617$ .

$- 4491 + 4491$

Schritt 7.1.3.9

Addiere $- 4491$ und $4491$ .

$0$

Schritt 7.1.4

Da $9$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 9$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491}{λ - 9}$

Schritt 7.1.5

Dividiere $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ durch $λ - 9$ .

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Schritt 7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$9$

$λ^{3}$

$66 λ^{2}$

$1012 λ$

$4491$

Schritt 7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$

Schritt 7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$

Schritt 7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- λ^{3} + 9 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$

Schritt 7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$

Schritt 7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

Schritt 7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $57 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

Schritt 7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					+	$57 λ^{2}$	-	$513 λ$

Schritt 7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $57 λ^{2} - 513 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$

Schritt 7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$

Schritt 7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Schritt 7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 499 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Schritt 7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Schritt 7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 499 λ + 4491$

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$

Schritt 7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$
										$0$

Schritt 7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- λ^{2} + 57 λ - 499$

Schritt 7.1.6

Schreibe $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 9 = 0$

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ - 9$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $λ - 9$ gleich $0$ .

$λ - 9 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 9$

Schritt 7.4

Setze $- λ^{2} + 57 λ - 499$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $- λ^{2} + 57 λ - 499$ gleich $0$ .

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4.2.2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 57$ und $c = - 499$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{- 57 \pm \sqrt{57^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 499)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.3.1.1

Potenziere $57$ mit $2$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 4 \cdot - 1 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 499$ .

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Schritt 7.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 + 4 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 499$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 1996}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.3

Subtrahiere $1996$ von $3249$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$

Schritt 7.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$ .

$λ = \frac{57 \pm \sqrt{1253}}{2}$

Schritt 7.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$ wahr machen.

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Dezimalform:

$λ = 9, 46.19887002 \dots, 10.80112997 \dots$