Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (x - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(x - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = x (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$p (λ) = 2 \cdot x + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 2 x - x λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 12$

Schritt 5.2.2

Bewege $- 2 λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ + λ^{2} - 2 λ - 12$

Schritt 5.2.3

Bewege $2 x$ .

$p (λ) = - x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - x - 2$ und $c = 2 x - 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{- (- x - 2) \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{1 x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe ${(- x - 2)}^{2}$ als $(- x - 2) (- x - 2)$ um.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{(- x - 2) (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5

Multipliziere $(- x - 2) (- x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x - 2) - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.3.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.11

Subtrahiere $8 x$ von $4 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.12

Addiere $4$ und $48$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$