Finite Mathematik Beispiele

0

$0$ ,

10

$10$ ,

- 10

$- 10$ ,

20

$20$ ,

- 20

$- 20$

Schritt 1

Der Mittelwert einer Menge von Zahlen ist die Summe dividiert durch die Anzahl der Terme.

¯ x = \frac{0 + 10 - 10 + 20 - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{0 + 10 - 10 + 20 - 20}{5}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

0 + 10 - 10 + 20 - 20

$0 + 10 - 10 + 20 - 20$ und

5

$5$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

0

$0$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot 0 + 10 - 10 + 20 - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot 0 + 10 - 10 + 20 - 20}{5}$

Schritt 2.2

Faktorisiere

5

$5$ aus

10

$10$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 2 - 10 + 20 - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 2 - 10 + 20 - 20}{5}$

Schritt 2.3

Faktorisiere

5

$5$ aus

5 \cdot 0 + 5 \cdot 2

$5 \cdot 0 + 5 \cdot 2$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2) - 10 + 20 - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2) - 10 + 20 - 20}{5}$

Schritt 2.4

Faktorisiere

5

$5$ aus

- 10

$- 10$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2) + 5 \cdot - 2 + 20 - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2) + 5 \cdot - 2 + 20 - 20}{5}$

Schritt 2.5

Faktorisiere

5

$5$ aus

5 \cdot (0 + 2) + 5 (- 2)

$5 \cdot (0 + 2) + 5 (- 2)$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2) + 20 - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2) + 20 - 20}{5}$

Schritt 2.6

Faktorisiere

5

$5$ aus

20

$20$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2) + 5 \cdot 4 - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2) + 5 \cdot 4 - 20}{5}$

Schritt 2.7

Faktorisiere

5

$5$ aus

5 \cdot (0 + 2 - 2) + 5 (4)

$5 \cdot (0 + 2 - 2) + 5 (4)$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4) - 20}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4) - 20}{5}$

Schritt 2.8

Faktorisiere

5

$5$ aus

- 20

$- 20$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4) + 5 \cdot - 4}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4) + 5 \cdot - 4}{5}$

Schritt 2.9

Faktorisiere

5

$5$ aus

5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4) + 5 (- 4)

$5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4) + 5 (- 4)$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4 - 4)}{5}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4 - 4)}{5}$

Schritt 2.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

5

$5$ heraus.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4 - 4)}{5 (1)}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4 - 4)}{5 (1)}$

Schritt 2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

¯ x = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4 - 4)}{5 \cdot 1}

$\overline{x} = \frac{5 \cdot (0 + 2 - 2 + 4 - 4)}{5 \cdot 1}$

Schritt 2.10.3

Forme den Ausdruck um.

¯ x = \frac{0 + 2 - 2 + 4 - 4}{1}

$\overline{x} = \frac{0 + 2 - 2 + 4 - 4}{1}$

Schritt 2.10.4

Dividiere

0 + 2 - 2 + 4 - 4

$0 + 2 - 2 + 4 - 4$ durch

1

$1$ .

¯ x = 0 + 2 - 2 + 4 - 4

$\overline{x} = 0 + 2 - 2 + 4 - 4$

¯ x = 0 + 2 - 2 + 4 - 4

$\overline{x} = 0 + 2 - 2 + 4 - 4$

¯ x = 0 + 2 - 2 + 4 - 4

$\overline{x} = 0 + 2 - 2 + 4 - 4$

Schritt 3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1

Addiere

0

$0$ und

2

$2$ .

¯ x = 2 - 2 + 4 - 4

$\overline{x} = 2 - 2 + 4 - 4$

Schritt 3.2

Subtrahiere

2

$2$ von

2

$2$ .

¯ x = 0 + 4 - 4

$\overline{x} = 0 + 4 - 4$

Schritt 3.3

Addiere

0

$0$ und

4

$4$ .

¯ x = 4 - 4

$\overline{x} = 4 - 4$

Schritt 3.4

Subtrahiere

4

$4$ von

4

$4$ .

¯ x = 0

$\overline{x} = 0$

¯ x = 0

$\overline{x} = 0$

Schritt 4

Stelle die Formel für die Varianz auf. Die Varianz einer Menge von Werten is ein Maß für die Streuung ihrer Werte.

s^{2} = n \sum i = 1 \frac{{(x_{i} - x_{a v g})}_{i}^{2}}{n - 1}

$s^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}$

Schritt 5

Stelle die Formel für die Varianz dieser Menge von Zahlen auf.

s = \frac{{(0 - 0)}^{2} + {(10 - 0)}^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{{(0 - 0)}^{2} + {(10 - 0)}^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere

0

$0$ von

0

$0$ .

s = \frac{0^{2} + {(10 - 0)}^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0^{2} + {(10 - 0)}^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.2

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

s = \frac{0 + {(10 - 0)}^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + {(10 - 0)}^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere

0

$0$ von

10

$10$ .

s = \frac{0 + 10^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 10^{2} + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.4

Potenziere

10

$10$ mit

2

$2$ .

s = \frac{0 + 100 + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 100 + {(- 10 - 0)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere

0

$0$ von

- 10

$- 10$ .

s = \frac{0 + 100 + {(- 10)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 100 + {(- 10)}^{2} + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.6

Potenziere

- 10

$- 10$ mit

2

$2$ .

s = \frac{0 + 100 + 100 + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 100 + 100 + {(20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.7

Subtrahiere

0

$0$ von

20

$20$ .

s = \frac{0 + 100 + 100 + 20^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 100 + 100 + 20^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.8

Potenziere

20

$20$ mit

2

$2$ .

s = \frac{0 + 100 + 100 + 400 + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 100 + 100 + 400 + {(- 20 - 0)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.9

Subtrahiere

0

$0$ von

- 20

$- 20$ .

s = \frac{0 + 100 + 100 + 400 + {(- 20)}^{2}}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 100 + 100 + 400 + {(- 20)}^{2}}{5 - 1}$

Schritt 6.1.10

Potenziere

- 20

$- 20$ mit

2

$2$ .

s = \frac{0 + 100 + 100 + 400 + 400}{5 - 1}

$s = \frac{0 + 100 + 100 + 400 + 400}{5 - 1}$

Schritt 6.1.11

Addiere

0

$0$ und

100

$100$ .

s = \frac{100 + 100 + 400 + 400}{5 - 1}

$s = \frac{100 + 100 + 400 + 400}{5 - 1}$

Schritt 6.1.12

Addiere

100

$100$ und

100

$100$ .

s = \frac{200 + 400 + 400}{5 - 1}

$s = \frac{200 + 400 + 400}{5 - 1}$

Schritt 6.1.13

Addiere

200

$200$ und

400

$400$ .

s = \frac{600 + 400}{5 - 1}

$s = \frac{600 + 400}{5 - 1}$

Schritt 6.1.14

Addiere

600

$600$ und

400

$400$ .

s = \frac{1000}{5 - 1}

$s = \frac{1000}{5 - 1}$

s = \frac{1000}{5 - 1}

$s = \frac{1000}{5 - 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von

5

$5$ .

s = \frac{1000}{4}

$s = \frac{1000}{4}$

Schritt 6.2.2

Dividiere

1000

$1000$ durch

4

$4$ .

s = 250

$s = 250$

s = 250

$s = 250$

s = 250

$s = 250$

Schritt 7

Approximiere das Ergebnis.

s^{2} \approx 250

$s^{2} \approx 250$