Finite Mathematik Beispiele

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 18 & 0.2 \\ 19 & 0.1 \\ 20 & 0.3 \\ 21 & 0.2 \\ 22 & 0.2 \end{array}$

Schritt 1

Beweise, dass die gegebene Tabelle die zwei Eigenschaften erfüllt, die für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt werden.

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Schritt 1.1

Eine diskrete Zufallsvariable $x$ nimmt eine Menge separater Werte (wie $0$ , $1$ , $2$ ...) an. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung weist jedem möglichen Wert $x$ eine Wahrscheinlichkeit $P (x)$ zu. Für jedes $x$ nimmt die Wahrscheinlichkeit $P (x)$ einen Wert im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$ an und die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen $x$ ist gleich $1$ .

1. Für alle $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Schritt 1.2

$0.2$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$ , was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.

$0.2$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$

Schritt 1.3

$0.1$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$ , was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.

$0.1$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$

Schritt 1.4

$0.3$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$ , was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.

$0.3$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$

Schritt 1.5

$0.2$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$ , was die erste Bedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt.

$0.2$ liegt im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen $0$ und $1$

Schritt 1.6

Für jedes $x$ fällt die Wahrscheinlichkeit $P (x)$ zwischen $0$ und $1$ einschließlich, womit das erste Merkmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben ist.

$0 \leq P (x) \leq 1$ für alle x-Werte

Schritt 1.7

Berechne die Summe aller Wahrscheinlichkeitswerte für alle möglichen $x$ -Werte.

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Schritt 1.8

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen $x$ -Werte ist $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $0.2$ und $0.1$ .

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Schritt 1.8.2

Addiere $0.3$ und $0.3$ .

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Schritt 1.8.3

Addiere $0.6$ und $0.2$ .

$0.8 + 0.2$

Schritt 1.8.4

Addiere $0.8$ und $0.2$ .

$1$

Schritt 1.9

Für jedes $x$ fällt die Wahrscheinlichkeit $P (x)$ zwischen $0$ und $1$ einschließlich. Darüberhinaus ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen $x$ gleich $1$ , was bedeutet, dass die Tabelle die beiden Merkmale einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt.

Die Tabelle erfüllt die beiden Merkmale einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Eigenschaft 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ für alle $x$ -Werte

Eigenschaft 2: $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Die Tabelle erfüllt die beiden Merkmale einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Eigenschaft 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ für alle $x$ -Werte

Eigenschaft 2: $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Schritt 2

Der Erwartungswert einer Verteilung ist der Wert, der erwartet wird, wenn die Versuche zur Verteilung unendlich fortgeführt werden könnten. Dies ist gleich dem Produkt aus jedem Wert und seiner diskreten Wahrscheinlichkeit.

$u = 18 \cdot 0.2 + 19 \cdot 0.1 + 20 \cdot 0.3 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $18$ mit $0.2$ .

$u = 3.6 + 19 \cdot 0.1 + 20 \cdot 0.3 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $19$ mit $0.1$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 20 \cdot 0.3 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $20$ mit $0.3$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 6 + 21 \cdot 0.2 + 22 \cdot 0.2$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $21$ mit $0.2$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 6 + 4.2 + 22 \cdot 0.2$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $22$ mit $0.2$ .

$u = 3.6 + 1.9 + 6 + 4.2 + 4.4$

Schritt 4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1

Addiere $3.6$ und $1.9$ .

$u = 5.5 + 6 + 4.2 + 4.4$

Schritt 4.2

Addiere $5.5$ und $6$ .

$u = 11.5 + 4.2 + 4.4$

Schritt 4.3

Addiere $11.5$ und $4.2$ .

$u = 15.7 + 4.4$

Schritt 4.4

Addiere $15.7$ und $4.4$ .

$u = 20.1$

Schritt 5

Die Varianz einer Verteilung ist ein Maß für die Streuung und ist gleich dem Quadrat der Standardabweichung.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

${(18 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $20.1$ .

${(18 - 20.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $20.1$ von $18$ .

${(- 2.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.3

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$4.41 \cdot 0.2 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $4.41$ mit $0.2$ .

$0.882 + {(19 - (20.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $20.1$ .

$0.882 + {(19 - 20.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.6

Subtrahiere $20.1$ von $19$ .

$0.882 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.7

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$0.882 + 1.21 \cdot 0.1 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.8

Mutltipliziere $1.21$ mit $0.1$ .

$0.882 + 0.121 + {(20 - (20.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $20.1$ .

$0.882 + 0.121 + {(20 - 20.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.10

Subtrahiere $20.1$ von $20$ .

$0.882 + 0.121 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.11

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.01 \cdot 0.3 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.12

Mutltipliziere $0.01$ mit $0.3$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + {(21 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $20.1$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + {(21 - 20.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.14

Subtrahiere $20.1$ von $21$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + {0.9}^{2} \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.15

Potenziere $0.9$ mit $2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.81 \cdot 0.2 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.16

Mutltipliziere $0.81$ mit $0.2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + {(22 - (20.1))}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $20.1$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + {(22 - 20.1)}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.18

Subtrahiere $20.1$ von $22$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + {1.9}^{2} \cdot 0.2$

Schritt 7.1.19

Potenziere $1.9$ mit $2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + 3.61 \cdot 0.2$

Schritt 7.1.20

Mutltipliziere $3.61$ mit $0.2$ .

$0.882 + 0.121 + 0.003 + 0.162 + 0.722$

Schritt 7.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.1

Addiere $0.882$ und $0.121$ .

$1.003 + 0.003 + 0.162 + 0.722$

Schritt 7.2.2

Addiere $1.003$ und $0.003$ .

$1.006 + 0.162 + 0.722$

Schritt 7.2.3

Addiere $1.006$ und $0.162$ .

$1.168 + 0.722$

Schritt 7.2.4

Addiere $1.168$ und $0.722$ .

$1.89$