Finite Mathematik Beispiele

${}_{40}C_{16}$

Schritt 1

Berechne ${}_{40}C_{16}$ mittels der Formel ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{40!}{(40 - 16)! 16!}$

Schritt 2

Subtrahiere $16$ von $40$ .

$\frac{40!}{(24)! 16!}$

Schritt 3

Vereinfache $\frac{40!}{(24)! 16!}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $40!$ als $40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24!$ um.

$\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24!}{(24)! 16!}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24!$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24!}{(24)! 16!}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $40$ mit $39$ .

$\frac{1560 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $1560$ mit $38$ .

$\frac{59280 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $59280$ mit $37$ .

$\frac{2193360 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2193360$ mit $36$ .

$\frac{78960960 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $78960960$ mit $35$ .

$\frac{2763633600 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2763633600$ mit $34$ .

$\frac{93963542400 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $93963542400$ mit $33$ .

$\frac{3100796899200 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $3100796899200$ mit $32$ .

$\frac{99225500774400 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $99225500774400$ mit $31$ .

$\frac{3075990524006400 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $3075990524006400$ mit $30$ .

$\frac{92279715720192000 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $92279715720192000$ mit $29$ .

$\frac{2676111755885568000 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $2676111755885568000$ mit $28$ .

$\frac{74931129164795904000 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.13

Mutltipliziere $74931129164795904000$ mit $27$ .

$\frac{2023140487449489408000 \cdot 26 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $2023140487449489408000$ mit $26$ .

$\frac{52601652673686724608000 \cdot 25}{16!}$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $52601652673686724608000$ mit $25$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{16!}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere $16!$ nach $16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ aus.

$\frac{1315041316842168115200000}{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere $16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $16$ mit $15$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{240 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $240$ mit $14$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{3360 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $3360$ mit $13$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{43680 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $43680$ mit $12$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{524160 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.5

Mutltipliziere $524160$ mit $11$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{5765760 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.6

Mutltipliziere $5765760$ mit $10$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{57657600 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.7

Mutltipliziere $57657600$ mit $9$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{518918400 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.8

Mutltipliziere $518918400$ mit $8$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{4151347200 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.9

Mutltipliziere $4151347200$ mit $7$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{29059430400 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.10

Mutltipliziere $29059430400$ mit $6$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{174356582400 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.11

Mutltipliziere $174356582400$ mit $5$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{871782912000 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.12

Mutltipliziere $871782912000$ mit $4$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{3487131648000 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.13

Mutltipliziere $3487131648000$ mit $3$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{10461394944000 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.14

Mutltipliziere $10461394944000$ mit $2$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{20922789888000 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.15

Mutltipliziere $20922789888000$ mit $1$ .

$\frac{1315041316842168115200000}{20922789888000}$

Schritt 3.5

Dividiere $1315041316842168115200000$ durch $20922789888000$ .

$62852101650$