Finite Mathematik Beispiele

$6 x + 6 y + z = 60$ , $3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x + z = 60 - 6 y$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 60 - 6 y - z$

$3 x + 4 y + z = 42$

$6 x = 60 - 6 y - z$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 60 - 6 y - z$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 60 - 6 y - z$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $60$ durch $6$ .

$x = 10 + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 y$ heraus.

$x = 10 + \frac{6 (- y)}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$x = 10 + \frac{6 (- y)}{6 (1)} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 10 + \frac{6 (- y)}{6 \cdot 1} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 10 + \frac{- y}{1} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$x = 10 - y + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $3 (10 - y - \frac{z}{6}) + 4 y + z$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 10 + 3 (- y) + 3 (- \frac{z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$30 + 3 (- y) + 3 (- \frac{z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$30 - 3 y + 3 (- \frac{z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{z}{6}$ in den Zähler.

$30 - 3 y + 3 (\frac{- z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$30 - 3 y + 3 (\frac{- z}{3 (2)}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 - 3 y + 3 (\frac{- z}{3 \cdot 2}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$30 - 3 y + \frac{- z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 - 3 y + \frac{- z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 - 3 y + \frac{- z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$30 - 3 y - \frac{z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 - 3 y - \frac{z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.2

Addiere $- 3 y$ und $4 y$ .

$30 + y - \frac{z}{2} + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.3

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$30 + y - \frac{z}{2} + z \cdot \frac{2}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $z$ und $\frac{2}{2}$ .

$30 + y - \frac{z}{2} + \frac{z \cdot 2}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$30 + y + \frac{- z + z \cdot 2}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.6

Addiere $- z$ und $z \cdot 2$ .

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Schritt 2.1.6.1

Stelle $z$ und $2$ um.

$30 + y + \frac{- z + 2 \cdot z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.1.6.2

Addiere $- z$ und $2 \cdot z$ .

$30 + y + \frac{z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 + y + \frac{z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 + y + \frac{z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + \frac{z}{2} = 42 - 30$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $\frac{z}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 42 - 30 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $30$ von $42$ .

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $10 - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$ .

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Schritt 3.1.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $10$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x = \frac{10}{1} - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10}{1} \cdot \frac{6}{6} - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.1.4

Schreibe $- (12 - \frac{z}{2})$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.1.5

Mutltipliziere $\frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6}{6} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6}{6} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{10 \cdot 6 - (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$x = \frac{60 - (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{60 + (- 1 \cdot 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$x = \frac{60 + (- 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.4

Multipliziere $- - \frac{z}{2}$ .

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Schritt 3.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{60 + (- 12 + 1 (\frac{z}{2})) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{z}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{60 + (- 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{60 + (- 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{60 - 12 \cdot 6 + \frac{z}{2} \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $6$ .

$x = \frac{60 - 72 + \frac{z}{2} \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{60 - 72 + \frac{z}{2} \cdot (2 (3)) - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{60 - 72 + \frac{z}{2} \cdot (2 \cdot 3) - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{60 - 72 + z \cdot 3 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{60 - 72 + z \cdot 3 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.3.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $z$ .

$x = \frac{60 - 72 + 3 z - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{60 - 72 + 3 z - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.4.1

Subtrahiere $72$ von $60$ .

$x = \frac{- 12 + 3 z - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.2

Subtrahiere $z$ von $3 z$ .

$x = \frac{- 12 + 2 z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12 + 2 z$ und $6$ .

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Schritt 3.1.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 6 + 2 z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 z$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 6 + 2 (z)}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 6 + 2 (z)$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot (- 6 + z)}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot (- 6 + z)}{2 (3)}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot (- 6 + z)}{2 \cdot 3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{- 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{- 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.4

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $z$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- z)}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - 1 (- z)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (6 - z)}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 3.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Stelle $12$ und $- \frac{z}{2}$ um.

$y = - \frac{z}{2} + 12$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = - \frac{z}{2} + 12$

$x = - \frac{6 - z}{3}$