Finite Mathematik Beispiele

$2 x + 5 y - z = 2$ , $3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - z = 2 - 5 y$

$3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 1.1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2 - 5 y + z$

$3 x + 8 y + z = 5$

$2 x = 2 - 5 y + z$

$3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 - 5 y + z$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 - 5 y + z$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1 + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $3 (1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}) + 8 y + z$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 1 + 3 (- \frac{5 y}{2}) + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 3 (- \frac{5 y}{2}) + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.2

Multipliziere $3 (- \frac{5 y}{2})$ .

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 - 3 \frac{5 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 y}{2}$ .

$3 + \frac{- 3 (5 y)}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$3 + \frac{- 15 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 + \frac{- 15 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{z}{2}$ .

$3 + \frac{- 15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 + \frac{- 15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - \frac{15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 - \frac{15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.2

Um $8 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 + \frac{3 z}{2} - \frac{15 y}{2} + 8 y \cdot \frac{2}{2} + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $8 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 + \frac{3 z}{2} - \frac{15 y}{2} + \frac{8 y \cdot 2}{2} + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 + \frac{3 z}{2} + \frac{- 15 y + 8 y \cdot 2}{2} + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 + z + \frac{3 z - 15 y + 8 y \cdot 2}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$3 + z + \frac{3 z - 15 y + 16 y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.7

Addiere $- 15 y$ und $16 y$ .

$3 + z + \frac{3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.8

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$z + 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$z + \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z + \frac{3 \cdot 2 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$z + \frac{6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.12

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$z \cdot \frac{2}{2} + \frac{6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.13.1

Kombiniere $z$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z \cdot 2}{2} + \frac{6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z \cdot 2 + 6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{z \cdot 2 + 6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.14.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{2 \cdot z + 6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.14.2

Addiere $2 z$ und $3 z$ .

$\frac{5 z + 6 + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{5 z + 6 + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{5 z + 6 + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{5 z + 6 + y}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{5 z + 6 + y}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 z + 6 + y}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 z + 6 + y = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$5 z + 6 + y = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Bewege $6$ .

$5 z + y + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Stelle $5 z$ und $y$ um.

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y + 5 z + 6 = 10$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 10$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 10$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $5 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 6 = 10 - 5 z$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 10 - 5 z - 6$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $6$ von $10$ .

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $1 - \frac{5 (- 5 z + 4)}{2} + \frac{z}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 1 + \frac{- 5 (- 5 z + 4) + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 + \frac{- 5 (- 5 z) - 5 \cdot 4 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x = 1 + \frac{25 z - 5 \cdot 4 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$x = 1 + \frac{25 z - 20 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 + \frac{25 z - 20 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.3.1

Addiere $25 z$ und $z$ .

$x = 1 + \frac{26 z - 20}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26 z - 20$ und $2$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $26 z$ heraus.

$x = 1 + \frac{2 (13 z) - 20}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$x = 1 + \frac{2 (13 z) + 2 \cdot - 10}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (13 z) + 2 (- 10)$ heraus.

$x = 1 + \frac{2 (13 z - 10)}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = 1 + \frac{2 (13 z - 10)}{2 (1)}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 1 + \frac{2 (13 z - 10)}{2 \cdot 1}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + \frac{13 z - 10}{1}$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.2.4.4

Dividiere $13 z - 10$ durch $1$ .

$x = 1 + 13 z - 10$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 + 13 z - 10$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 + 13 z - 10$

$y = - 5 z + 4$

Schritt 3.1.3.3

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$