Finite Mathematik Beispiele

$x + y - z = 0$ , $x - y + z = 8$ , $x + 5 y - z = - 20$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 20 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (- - 1 - 5 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (1 - 5 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 (1 - 5) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 4 - 1 (1 \cdot - 1 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 (- 1 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 (- 1 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$ .

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Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 2 - 1 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 2 - 1 (5 - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 2 - 1 (5 + 1)$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $5$ und $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 6$

Schritt 2.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 - 1 \cdot - 2 - 1 \cdot 6$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 4 + 2 - 1 \cdot 6$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 4 + 2 - 6$

Schritt 2.6.2

Addiere $- 4$ und $2$ .

$- 2 - 6$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $6$ von $- 2$ .

$- 8$

$D = - 8$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & - 1 \\ 8 & - 1 & 1 \\ - 20 & 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 5 & - 1 \end{array} |$ .

$0 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 - 1 (8 \cdot - 1 - (- 20 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$0 - 1 (- 8 - (- 20 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 20 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$0 - 1 (- 8 - - 20) - 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$0 - 1 (- 8 + 20) - 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $- 8$ und $20$ .

$0 - 1 \cdot 12 - 1 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ - 20 & 5 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 - 1 \cdot 12 - 1 (8 \cdot 5 - (- 20 \cdot - 1))$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$0 - 1 \cdot 12 - 1 (40 - (- 20 \cdot - 1))$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 20 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$0 - 1 \cdot 12 - 1 (40 - 1 \cdot 20)$

Schritt 4.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$0 - 1 \cdot 12 - 1 (40 - 20)$

Schritt 4.2.4.2.2

Subtrahiere $20$ von $40$ .

$0 - 1 \cdot 12 - 1 \cdot 20$

Schritt 4.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$0 - 12 - 1 \cdot 20$

Schritt 4.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$0 - 12 - 20$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$- 12 - 20$

Schritt 4.2.5.3

Subtrahiere $20$ von $- 12$ .

$- 32$

$D_{x} = - 32$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $- 8$ for $D$ and $- 32$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 32}{- 8}$

Schritt 4.5

Dividiere $- 32$ durch $- 8$ .

$x = 4$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 20 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 20 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (8 \cdot - 1 - (- 20 \cdot 1)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$1 (- 8 - (- 20 \cdot 1)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 20 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$1 (- 8 - - 20) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$1 (- 8 + 20) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $- 8$ und $20$ .

$1 \cdot 12 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 12 + 0 - 1 (1 \cdot - 20 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$1 \cdot 12 + 0 - 1 (- 20 - 1 \cdot 8)$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$1 \cdot 12 + 0 - 1 (- 20 - 8)$

Schritt 5.2.4.2.2

Subtrahiere $8$ von $- 20$ .

$1 \cdot 12 + 0 - 1 \cdot - 28$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + 0 - 1 \cdot - 28$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 28$ .

$12 + 0 + 28$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $12$ und $0$ .

$12 + 28$

Schritt 5.2.5.3

Addiere $12$ und $28$ .

$40$

$D_{y} = 40$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- 8$ for $D$ and $40$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{40}{- 8}$

Schritt 5.5

Dividiere $40$ durch $- 8$ .

$y = - 5$

Schritt 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 8 \\ 1 & 5 & - 20 \end{array} |$

Schritt 6.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 5 & - 20 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 5 & - 20 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 5 & - 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 5 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 5 & - 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} | + 0$

Schritt 6.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 5 & - 20 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (- - 20 - 5 \cdot 8) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} | + 0$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$1 (20 - 5 \cdot 8) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} | + 0$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$1 (20 - 40) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} | + 0$

Schritt 6.2.3.2.2

Subtrahiere $40$ von $20$ .

$1 \cdot - 20 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} | + 0$

Schritt 6.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 20 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 20 - 1 (1 \cdot - 20 - 1 \cdot 8) + 0$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$1 \cdot - 20 - 1 (- 20 - 1 \cdot 8) + 0$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$1 \cdot - 20 - 1 (- 20 - 8) + 0$

Schritt 6.2.4.2.2

Subtrahiere $8$ von $- 20$ .

$1 \cdot - 20 - 1 \cdot - 28 + 0$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$- 20 - 1 \cdot - 28 + 0$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 28$ .

$- 20 + 28 + 0$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $- 20$ und $28$ .

$8 + 0$

Schritt 6.2.5.3

Addiere $8$ und $0$ .

$8$

$D_{z} = 8$

Schritt 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Schritt 6.4

Substitute $- 8$ for $D$ and $8$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{8}{- 8}$

Schritt 6.5

Dividiere $8$ durch $- 8$ .

$z = - 1$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = 4$

$y = - 5$

$z = - 1$