Finite Mathematik Beispiele

$5 x + 2 y - 4 = 0$ , $3 x - y - 9 = 0$

Schritt 1

Löse in $5 x + 2 y - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x - 4 = - 2 y$

$3 x - y - 9 = 0$

Schritt 1.1.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2 y + 4$

$3 x - y - 9 = 0$

$5 x = - 2 y + 4$

$3 x - y - 9 = 0$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2 y + 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2 y + 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - y - 9 = 0$ durch $- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$ .

$3 (- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}) - y - 9$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \frac{2 y}{5}) + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $3 (- \frac{2 y}{5})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \frac{2 y}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 y}{5}$ .

$\frac{- 3 (2 y)}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{- 6 y}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{- 6 y}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $3 (\frac{4}{5})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{- 6 y}{5} + \frac{3 \cdot 4}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- 6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{- 6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{6 y}{5} - y \cdot \frac{5}{5} + \frac{12}{5} - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $- y$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{6 y}{5} + \frac{- y \cdot 5}{5} + \frac{12}{5} - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 y - y \cdot 5}{5} + \frac{12}{5} - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 + \frac{- 6 y - y \cdot 5 + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 9 + \frac{- 6 y - 5 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.7

Subtrahiere $5 y$ von $- 6 y$ .

$- 9 + \frac{- 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.8

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 9 \cdot \frac{5}{5} + \frac{- 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.9.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 9 \cdot 5}{5} + \frac{- 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 \cdot 5 - 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{- 9 \cdot 5 - 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$\frac{- 45 - 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.10.2

Addiere $- 45$ und $12$ .

$\frac{- 11 y - 33}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.10.3

Faktorisiere $11$ aus $- 11 y - 33$ heraus.

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Schritt 2.2.1.10.3.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11 y$ heraus.

$\frac{11 (- y) - 33}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.10.3.2

Faktorisiere $11$ aus $- 33$ heraus.

$\frac{11 (- y) + 11 (- 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.10.3.3

Faktorisiere $11$ aus $11 (- y) + 11 (- 3)$ heraus.

$\frac{11 (- y - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{11 (- y - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{11 (- y - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.2.1.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{11 (- (y) - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.11.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{11 (- (y) - 1 \cdot 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{11 (- (y + 3))}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.11.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.11.4.1

Schreibe $- (y + 3)$ als $- 1 (y + 3)$ um.

$\frac{11 (- 1 (y + 3))}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.11.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 3

Löse in $- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$11 (y + 3) = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 (y + 3) = 0$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $11 (y + 3) = 0$ durch $11$ .

$\frac{11 (y + 3)}{11} = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 (y + 3)}{11} = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Dividiere $y + 3$ durch $1$ .

$y + 3 = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $11$ .

$y + 3 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - 3$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - 3$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$ durch $- 3$ .

$x = - \frac{2 (- 3)}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{2 (- 3)}{5} + \frac{4}{5}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \cdot - 3 + 4}{5}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{6 + 4}{5}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $6$ und $4$ .

$x = \frac{10}{5}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $10$ durch $5$ .

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, - 3)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 2, y = - 3$

Schritt 7