Finite Mathematik Beispiele

$x + y + z = 7$ , $x - y + 2 z = 7$ , $2 x + 3 z = 15$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 15 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Schritt 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 2.2.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} | + 0$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

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Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} | + 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 (3 - 2 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} | + 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 1 (3 - 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} | + 0$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- 1 \cdot - 1 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} | + 0$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

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Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 1 - 1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) + 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 \cdot - 1 - 1 (3 - 2 \cdot 1) + 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot - 1 - 1 (3 - 2) + 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- 1 \cdot - 1 - 1 \cdot 1 + 0$

Schritt 2.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 1 \cdot 1 + 0$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 + 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + 0$

Schritt 2.6.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

$D = 0$

Schritt 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.