Finite Mathematik Beispiele

$3 x - 4 y = 16$ , $6 x + 8 y = - 2$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = 16 - 3 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 16 - 3 x$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 16 - 3 x$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Dividiere $16$ durch $- 4$ .

$y = - 4 + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 1.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 4 + \frac{3 x}{4}$

Schritt 1.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.4.1

Stelle $- 4$ und $\frac{3 x}{4}$ um.

$y = \frac{3 x}{4} - 4$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{4} x - 4$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $\frac{3}{4}$ .

$m_{1} = \frac{3}{4}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = - 2 - 6 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - 2 - 6 x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - 2 - 6 x$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1)}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{4} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{- 6 x}{8}$

Schritt 3.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $8$ .

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{8}$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (4)}$

Schritt 3.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Schritt 3.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{4} - \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $- \frac{1}{4}$ und $- \frac{3 x}{4}$ um.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{4} x) - \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{3}{4}$ .

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$3 x - 4 y = 16, 6 x + 8 y = - 2$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $3 x - 4 y = 16$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 16 + 4 y$

$6 x + 8 y = - 2$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 16 + 4 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 16 + 4 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $6 x + 8 y = - 2$ durch $\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ .

$6 (\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $6 (\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}) + 8 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (\frac{16}{3}) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) (\frac{16}{3}) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot (2 (\frac{16}{3})) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 16 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$2 \cdot 16 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$32 + 3 (2) (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 + 3 \cdot (2 (\frac{4 y}{3})) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$32 + 2 (4 y) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 2 (4 y) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$32 + 8 y + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 8 y + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Addiere $8 y$ und $8 y$ .

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3

Löse in $32 + 16 y = - 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 y = - 2 - 32$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $32$ von $- 2$ .

$16 y = - 34$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$16 y = - 34$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $16 y = - 34$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 y = - 34$ durch $16$ .

$\frac{16 y}{16} = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 y}{16} = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 34$ und $16$ .

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Schritt 6.3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 34$ heraus.

$y = \frac{2 (- 17)}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{17}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ durch $- \frac{17}{8}$ .

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 (- \frac{17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $\frac{16}{3} + \frac{4 (- \frac{17}{8})}{3}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{16 + 4 (- \frac{17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17}{8}$ in den Zähler.

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{4 (2)})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{4 \cdot 2})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{16 + \frac{- 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16 + \frac{- 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{16 - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16 - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.3

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{16 \cdot \frac{2}{2} - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.4

Kombiniere $16$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\frac{16 \cdot 2}{2} - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{16 \cdot 2 - 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{\frac{32 - 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.6.2

Subtrahiere $17$ von $32$ .

$x = \frac{\frac{15}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{\frac{15}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$x = \frac{3 (5)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.4.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{8})$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{8})$

Schritt 8