Finite Mathematik Beispiele

$(- 10, 8)$ , $7 x - 5 y = 2$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $y$ , ausgedrückt mittels $x$ , auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y = 2 - 7 x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 2 - 7 x$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = 2 - 7 x$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5}$

Schritt 2

Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn $f$ eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall $[a, b]$ ist und $u$ eine Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ ist, dann ist ein $c$ im Intervall $[a, b]$ enthalten, sodass $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Berechne $f (a) = f (- 10) = - \frac{2}{5} + \frac{7 (- 10)}{5}$ .

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 10) = \frac{- 2 + 7 (- 10)}{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 10$ .

$f (- 10) = \frac{- 2 - 70}{5}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $70$ von $- 2$ .

$f (- 10) = \frac{- 72}{5}$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 10) = - \frac{72}{5}$

Schritt 5

Berechne $f (b) = f (8) = - \frac{2}{5} + \frac{7 (8)}{5}$ .

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (8) = \frac{- 2 + 7 (8)}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$f (8) = \frac{- 2 + 56}{5}$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 2$ und $56$ .

$f (8) = \frac{54}{5}$

Schritt 6

Da sich $0$ im Intervall $[- \frac{72}{5}, \frac{54}{5}]$ befindet, löse die Gleichung an der Wurzel nach $x$ auf, indem du $y$ in $y = - \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5}$ gleich $0$ setzt.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5} = 0$ um.

$- \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5} = 0$

Schritt 6.2

Addiere $\frac{2}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{7 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 6.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$7 x = 2$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Schritt 7

Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel $f (c) = 0$ im Intervall $[- \frac{72}{5}, \frac{54}{5}]$ gibt, weil $f$ eine im Intervall $[- 10, 8]$ stetige Funktion ist.

Die Wurzeln im Intervall $[- 10, 8]$ befinden sich bei $x = \frac{2}{7}$ .

Schritt 8