Finite Mathematik Beispiele

$n = 14$ , $x = 5$ , $p = 0.2$

Schritt 1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{14}C_{5} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von ${}_{14}C_{5}$ .

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Schritt 2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{14}C_{5} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(14)!}{(5)! (14 - 5)!}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $5$ von $14$ .

$\frac{(14)!}{(5)! (9)!}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $(14)!$ als $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$ um.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(5)! (9)!}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9!$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(5)! (9)!}$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{(5)!}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $14$ mit $13$ .

$\frac{182 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{(5)!}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $182$ mit $12$ .

$\frac{2184 \cdot 11 \cdot 10}{(5)!}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $2184$ mit $11$ .

$\frac{24024 \cdot 10}{(5)!}$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $24024$ mit $10$ .

$\frac{240240}{(5)!}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.1

Multipliziere $(5)!$ nach $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ aus.

$\frac{240240}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2

Multipliziere $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{240240}{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$\frac{240240}{60 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2.3

Mutltipliziere $60$ mit $2$ .

$\frac{240240}{120 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2.4

Mutltipliziere $120$ mit $1$ .

$\frac{240240}{120}$

Schritt 2.3.6

Dividiere $240240$ durch $120$ .

$2002$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$2002 \cdot {(0.2)}^{5} \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 5}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1

Potenziere $0.2$ mit $5$ .

$2002 \cdot 0.00032 \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2002$ mit $0.00032$ .

$0.64064 \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 5}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $0.2$ von $1$ .

$0.64064 \cdot {0.8}^{14 - 5}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $5$ von $14$ .

$0.64064 \cdot {0.8}^{9}$

Schritt 4.5

Potenziere $0.8$ mit $9$ .

$0.64064 \cdot 0.13421772$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $0.64064$ mit $0.13421772$ .

$0.08598524$