Finite Mathematik Beispiele

${(\frac{2}{3})}^{3 x - 1} > 1$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1}) > \ln (1)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1})$ durch Herausziehen von $3 x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{2}{3})$ als $\ln (2) - \ln (3)$ um.

$(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3)) > \ln (1)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Schritt 3.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - 1 \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Schritt 3.1.3

Schreibe $- 1 \ln (\frac{2}{3})$ als $- \ln (\frac{2}{3})$ um.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6

Addiere $\ln (\frac{2}{3})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ durch $3 \ln (\frac{2}{3})$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ durch $3 \ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{1}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{1}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{1}{3})$

Schritt 10