Finite Mathematik Beispiele

${(2 + 5 i)}^{2} + (3 + 4 i) + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

${(2 + 5 i)}^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(2 + 5 i)}^{2}$ als $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ um.

$(2 + 5 i) (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.2

Multipliziere $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 + 5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$4 + 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $5 i (5 i)$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i^{1}) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{1 + 1} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$4 + 10 i + 10 i + 25 \cdot - 1 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i - 25 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $25$ von $4$ .

$- 21 + 10 i + 10 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.3.3

Addiere $10 i$ und $10 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{i}{0.8660254 + 0.5 i}$ mit der Konjugierten von $0.8660254 + 0.5 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Schritt 2.5

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1

Kombinieren.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i \cdot 0.8660254 + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.2

Bringe $0.8660254$ auf die linke Seite von $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.3

Multipliziere $i (- 0.5 i)$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i^{1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{1 + 1}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i - 0.5 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i + 0.5}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.2.5

Stelle $0.8660254 i$ und $0.5$ um.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.3.1

Multipliziere $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 2.5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 2.5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.2.1

Mutltipliziere $0.8660254$ mit $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 2.5.3.2.2

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 2.5.3.2.3

Mutltipliziere $0.8660254$ mit $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 2.5.3.2.4

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Schritt 2.5.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Schritt 2.5.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 2.5.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Schritt 2.5.3.2.9

Addiere $- 0.4330127 i$ und $0.4330127 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Schritt 2.5.3.3.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.3.3.3

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Schritt 2.5.3.4

Addiere $0.75$ und $0$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.25}$

Schritt 2.5.3.5

Addiere $0.75$ und $0.25$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Schritt 2.6

Schreibe $0.5$ als $1 (0.5)$ um.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 0.8660254 i}{1}$

Schritt 2.7

Faktorisiere $1$ aus $0.8660254 i$ heraus.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)}{1}$

Schritt 2.8

Faktorisiere $1$ aus $1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)$ heraus.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1}$

Schritt 2.9

Faktorisiere $1$ aus $1$ heraus.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1 (1)}$

Schritt 2.10

Separiere Brüche.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1}{1} \cdot \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Schritt 2.11

Dividiere $1$ durch $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Schritt 2.12

Dividiere $0.5 + 0.8660254 i$ durch $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 (0.5 + 0.8660254 i)$

Schritt 2.13

Wende das Distributivgesetz an.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \cdot 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $1$ mit $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $0.8660254$ mit $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Schritt 3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1

Addiere $- 21$ und $3$ .

$- 18 + 20 i + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Schritt 3.2

Addiere $- 18$ und $0.5$ .

$- 17.5 + 20 i + 4 i + 0.8660254 i$

Schritt 3.3

Addiere $20 i$ und $4 i$ .

$- 17.5 + 24 i + 0.8660254 i$

Schritt 3.4

Addiere $24 i$ und $0.8660254 i$ .

$- 17.5 + 24.8660254 i$