Finite Mathematik Beispiele

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ um.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2} - 4 x + 7$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ mit $x^{2} - 4 x + 7$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ mit $x^{2} - 4 x + 7$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 4 x + 7$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

Schritt 3.3.2.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $y$ .

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ um.

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

Schritt 4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = y$ , $b = - 4 y$ und $c = 7 y - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.2

Es sei $u = y \cdot (7 y - 5)$ . Ersetze $u$ für alle $y \cdot (7 y - 5)$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 4 y$ an.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16 y^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $y \cdot (7 y - 5)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.5.1.4.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.1.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.5.2

Subtrahiere $7 y^{2}$ von $4 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.6

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y^{2} + 5 y$ heraus.

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Schritt 4.5.1.6.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.6.2

Faktorisiere $y$ aus $5 y$ heraus.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.6.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 3 y) + y \cdot 5$ heraus.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.7

Schreibe $4 y (- 3 y + 5)$ als $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ um.

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Schritt 4.5.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

Schritt 4.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache $\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$