Finite Mathematik Beispiele

$65 = \frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} = 65$ um.

$\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} = 65$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + 5 e^{- 0.8 x}$ .

$\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} (1 + 5 e^{- 0.8 x}) = 65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 5 e^{- 0.8 x}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} (1 + 5 e^{- 0.8 x}) = 65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$75 = 65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$75 = 65 \cdot 1 + 65 (5 e^{- 0.8 x})$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $65$ mit $1$ .

$75 = 65 + 65 (5 e^{- 0.8 x})$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $65$ .

$75 = 65 + 325 e^{- 0.8 x}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $65 + 325 e^{- 0.8 x} = 75$ um.

$65 + 325 e^{- 0.8 x} = 75$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $65$ von beiden Seiten der Gleichung.

$325 e^{- 0.8 x} = 75 - 65$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $65$ von $75$ .

$325 e^{- 0.8 x} = 10$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $325 e^{- 0.8 x} = 10$ durch $325$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $325 e^{- 0.8 x} = 10$ durch $325$ .

$\frac{325 e^{- 0.8 x}}{325} = \frac{10}{325}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $325$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{325 e^{- 0.8 x}}{325} = \frac{10}{325}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $e^{- 0.8 x}$ durch $1$ .

$e^{- 0.8 x} = \frac{10}{325}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $325$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$e^{- 0.8 x} = \frac{5 (2)}{325}$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $325$ heraus.

$e^{- 0.8 x} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 65}$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 0.8 x} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 65}$

Schritt 4.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 0.8 x} = \frac{2}{65}$

Schritt 4.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 0.8 x}) = \ln (\frac{2}{65})$

Schritt 4.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.5.1

Zerlege $\ln (e^{- 0.8 x})$ durch Herausziehen von $- 0.8 x$ aus dem Logarithmus.

$- 0.8 x \ln (e) = \ln (\frac{2}{65})$

Schritt 4.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 0.8 x \cdot 1 = \ln (\frac{2}{65})$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $- 0.8$ mit $1$ .

$- 0.8 x = \ln (\frac{2}{65})$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $- 0.8 x = \ln (\frac{2}{65})$ durch $- 0.8$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.8 x = \ln (\frac{2}{65})$ durch $- 0.8$ .

$\frac{- 0.8 x}{- 0.8} = \frac{\ln (\frac{2}{65})}{- 0.8}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.8$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.8 x}{- 0.8} = \frac{\ln (\frac{2}{65})}{- 0.8}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{65})}{- 0.8}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{2}{65})}{0.8}$

Schritt 4.6.3.2

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{2}{65})}{0.8}$

Schritt 4.6.3.3

Dividiere $2$ durch $65$ .

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (0.0\overline{307692})}{0.8}$

Schritt 4.6.3.4

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $0.0\overline{307692}$ ist ungefähr $- 3.48124008$ .

$x = - \frac{- 3.48124008}{0.8}$

Schritt 4.6.3.5

Dividiere $- 3.48124008$ durch $0.8$ .

$x = - - 4.35155011$

Schritt 4.6.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4.35155011$ .

$x = 4.35155011$