Finite Mathematik Beispiele

$6 ({1.02}^{5 x + 1}) = 9$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $6 \cdot {1.02}^{5 x + 1} = 9$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \cdot {1.02}^{5 x + 1} = 9$ durch $6$ .

$\frac{6 \cdot {1.02}^{5 x + 1}}{6} = \frac{9}{6}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot {1.02}^{5 x + 1}}{6} = \frac{9}{6}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere ${1.02}^{5 x + 1}$ durch $1$ .

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{9}{6}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3 (3)}{6}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3}{2}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.02}^{5 x + 1}) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 3

Zerlege $\ln ({1.02}^{5 x + 1})$ durch Herausziehen von $5 x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(5 x + 1) \ln (1.02) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(5 x + 1) \ln (1.02)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \ln (1.02) + 1 \ln (1.02) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\ln (1.02)$ mit $1$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (1.02) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$5 x \ln (1.02) + \ln (1.02) - \ln (\frac{3}{2}) = 0$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02}{\frac{3}{2}}) = 0$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$5 x \ln (1.02) + \ln (1.02 (\frac{2}{3})) = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $1.02 (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $1.02$ und $\frac{2}{3}$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02 \cdot 2}{3}) = 0$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $1.02$ mit $2$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (\frac{2.04}{3}) = 0$

Schritt 7.3

Dividiere $2.04$ durch $3$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (0.68) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (0.68)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x \ln (1.02) = - \ln (0.68)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $5 x \ln (1.02) = - \ln (0.68)$ durch $5 \ln (1.02)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x \ln (1.02) = - \ln (0.68)$ durch $5 \ln (1.02)$ .

$\frac{5 x \ln (1.02)}{5 \ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x \ln (1.02)}{5 \ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Schritt 9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.02)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Dezimalform:

$x = 3.89506377 \dots$