Finite Mathematik Beispiele

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = - 1$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 1 = e^{- 1} (x - 1)$

Schritt 5

Vereinfache $e^{- 1} (x - 1)$ .

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 1 = \frac{1}{e} (x - 1)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $x$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $- 1$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x + 1 = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Schritt 6

Subtrahiere $\frac{x}{e}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e}$

Schritt 7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Schritt 8

Faktorisiere $x$ aus $x - \frac{x}{e}$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{x}{e}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e})$ heraus.

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ durch $1 - \frac{1}{e}$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ durch $1 - \frac{1}{e}$ .

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \frac{1}{e}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Schritt 9.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e$ .

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$ mit $\frac{e}{e}$ .

$x = \frac{e}{e} \cdot \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Schritt 9.3.2.2

Kombinieren.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e} - 1)}{e (1 - \frac{1}{e})}$

Schritt 9.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e}) + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Schritt 9.3.4

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 9.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 9.3.4.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e}$ in den Zähler.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Schritt 9.3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Schritt 9.3.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Schritt 9.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 9.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 - 1}$

Schritt 9.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e$ .

$x = \frac{- 1 - 1 \cdot e}{e \cdot 1 - 1}$

Schritt 9.3.5.2

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$x = \frac{- 1 - e}{e \cdot 1 - 1}$

Schritt 9.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.3.6.1

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e - 1}$

Schritt 9.3.6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 (1) - e}{e - 1}$

Schritt 9.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- e$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1) - (e)}{e - 1}$

Schritt 9.3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (e)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + e)}{e - 1}$

Schritt 9.3.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + e}{e - 1}$

Schritt 10

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$