Finite Mathematik Beispiele

$x + 1 = \sqrt{6 x - 7} - 1$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{6 x - 7} - 1 = x + 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{6 x - 7}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{6 x - 7} = x + 1 + 1$

Schritt 2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{6 x - 7} = x + 2$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 x - 7}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 7}$ als ${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 x - 7)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$6 x - 7 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$6 x - 7 = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x - 7 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 4 = 6 x - 7$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 - 6 x = - 7$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $4 x$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = - 7$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 4 + 7 = 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $4$ und $7$ .

$x^{2} - 2 x + 11 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3

Subtrahiere $44$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $- 40$ als $- 1 (40)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (40)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.7

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 5.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{10}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{10}, 1 - i \sqrt{10}$