Finite Mathematik Beispiele

$V = {(x - a)}^{2} - x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(x - a)}^{2} - x^{2} = V$ um.

${(x - a)}^{2} - x^{2} = V$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - a)}^{2} - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache ${(x - a)}^{2} - x^{2} - V$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe ${(x - a)}^{2}$ als $(x - a) (x - a)$ um.

$(x - a) (x - a) - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $(x - a) (x - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - a) - a (x - a) - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- a) - a (x - a) - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- a) - a x - a (- a) - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (- a) - a x - a (- a) - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x a - a x - a (- a) - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x a - a x - 1 \cdot - 1 a \cdot a - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.1.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.3.1.4.1

Bewege $a$ .

$x^{2} - x a - a x - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$x^{2} - x a - a x - 1 \cdot - 1 a^{2} - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x a - a x + 1 a^{2} - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - x a - a x + a^{2} - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.2

Subtrahiere $a x$ von $- x a$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - a x - a x + a^{2} - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Subtrahiere $a x$ von $- a x$ .

$x^{2} - 2 a x + a^{2} - x^{2} - V = 0$

Schritt 2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 a x + a^{2} - x^{2} - V$ .

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 2 a x + a^{2} + 0 - V = 0$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 2 a x + a^{2}$ und $0$ .

$- 2 a x + a^{2} - V = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 x$ und $c = - V$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- V))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- V))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Es sei $u = 1 \cdot (- V)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (- V)$ .

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Schritt 5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (- V)$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (1 \cdot (- V)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- V$ mit $1$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + V)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.2

Multipliziere $- - V$ .

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Schritt 5.1.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + 1 V)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.2.2

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + V)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (x^{2} + V)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{x^{2} + V}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{x^{2} + V}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{x^{2} + V}}{2}$ .

$a = x \pm \sqrt{x^{2} + V}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = x + \sqrt{x^{2} + V}$

$a = x - \sqrt{x^{2} + V}$